Question

La diagonal de un rectángulo mide 10 dm. Halla sus dimensiones, sabiendo que la base mide 2 dm más que la altura.

Nota: utiliza el teorema de Pitágoras.

Answer 1

Respuesta:

La altura es 6 dm y la base es 8 dm.

Explicación paso a paso:

La diagonal de un rectángulo es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma con la base y la altura, que serían los catetos.

Según el enunciado, la base (b) mide 2dm más que la altura (a), así pues:

b = a+2

El teorema de Pitágoras establece que:

hipotenusa² = cateto_a² + cateto_b²

que en nuestro caso concreto podemos escribir como:

diagonal² = base² + altura²

y sustituyendo los valores conocidos:

10² = (a+2)² + a²

desarrollando el primer término del segundo miembro de la igual, que es una igualdad notable (suma al cuadrado) resulta:

100 = a² + 4a + 4 + a²

sumando términos semejantes resulta una ecuación de segundo grado:

2a² + 4a - 96 = 0

que podemos reescribir, para no confundirnos, como

2x² + 4x - 96 =0  siendo x la altura del rectángulo.

cuyas soluciones posibles son

$\quad x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

siendo a=2, b=4 y c=-96, queda:

$\quad x_{1,\:2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4*2*(-96)}}{2*2}=\frac{-4\pm \sqrt{16+768}}{4}=\frac{-4\pm \sqrt{784}}{4}=\frac{-4\pm28}{4}$

$x_{1} =+24/4 = 6\\x_{2} =-32/4=-8$

Como en nuestro caso no tiene sentido que la longitud de la altura sea negativa, la altura del rectángulo es 6 dm y, en consecuencia, la base es 8 dm.