Question

La curva x2-xy+y2=16 es una elipse con centro en el origen y con la recta y=x como su eje mayor. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los dos puntos donde la recta intersecta al eje x.

Answer 1

Respuesta:

y = - x + 8

y = -x - 8

Explicación paso a paso:

Cálculos de puntos de tangencia.

x² + y² - xy = 16 e y = x

x² + x² -x.x = 16

x² + x² - x² = 16

x² = 16

x = -4 ou x = 4

x = -4 ⇒ y = -4

B(-4, -4)

x = 4 ⇒ y = 4,  A(4, 4)

Cálculo de la pendiente.

Derivando implícitamente x² + y² - xy = 16

2x + 2yy" - (xy' + y.1) = 0

2x + 2yy' - xy' - y = 0

y'(2y - x) = y - 2x

$y'=\frac{y-2x}{2y-x} \\\\y'_(__-_4_,_4)=\frac{-4-2(-4)}{2(-4)-(-4)}$

$y'_(__-_4_,_-_4)=\frac{-4+8}{-8+4} =\frac{4}{-4}=-1 \implies m=-1$

$y-y_A=m(x-x_A)\\\\y-4=-1(x-4)\\\\y=4-x+4\\\\y=-x+8$

$y-(-4)=-1[x-(-4)]\\\\y+4=-1(x+4)\\\\y=-4-x-4\\\\y=-x-8$