la cordenada x del punto p aumenta a razon de un tercio de centrimetro por hora, cuan rapido crece el area del triangulo rectangulo cuando las coordenadas del punto p son 8,2
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
La coordenada x del punto P mostrado en la FIGURA aumenta a razón de 1/3 cm/h ¿Cuán rápido crece el área del triángulo rectángulo OPA cuando las coordenadas de P son (8, 2)?
RTA// 1. Tenemos que el área de un triángulo se halla con la fórmula ( Base x Altura)/2 donde en esta situación tenemos que la Base es X y la Altura es Y. A= (X . Y)/2, donde con la función que nos dan sabemos que X = Y^3. La ecuación para el área se reescribe así: A = ( Y^3 . Y)/2 = (Y^4)/2. 2. Luego, derivamos la función X = Y^3 con respecto al tiempo, lo que nos da: dX/dt = 3(Y^2) . (dY/dt). Como sabemos que dX/dt = 1/3 cm/h, despejamos dY/dt quedando: dY/dt = 1/9Y^2. 3. Como nos están pidiendo cuán rápido crece el área del rectángulo en el punto (8,2), donde tenemos que Y = 2, este valor lo reemplazamos en la ecuación quedando que la razón de cambio en Y con respecto al tiempo es 1/36. 4. Ahora derivamos la ecuación del área, teniendo en cuenta que el área varía con respecto al tiempo: A’ = (4Y^3)/2 . dY/dt, como nos están pidiendo en el punto (8,2) y sabemos que dY/dt en
Y = 2 es igual a 1/36, entonces el resultado de la velocidad
con la que variaría el área del triángulo es: A’ = 16 . 1/36 = 4/9.
10. Una partícula en movimiento continuo se mueve sobre la gráfica de 4Y = X^2 + x Encuentre el punto (X, Y) sobre la gráfica en el que la razón de cambio de la coordenada X y la razón de cambio de la coordenada Y son iguales.
RTA//
1. Derivamos la función 4Y = X^2 + x: Lo que es igual a 4 (dY/dt) = 2X (dX/dt) + dX/dt, que es igual a -----------4(dY/dt) = (dX/dt) (2X +1). 2. Para que la razón de cambio de X y Y sean iguales: 4 = (2X + 1), despejando : X = 3/2. Y reemplazando en la ecuación original, tenemos que y = 15/16. Como es una función cuadrática, reemplazamos el valor de Y en la función y encontramos el otro valor de X que es X = -5/2. Pero aquí nos damos cuenta que el único punto para el cual las razones de cambio de X y Y son iguales es (3/2, 15/16).
Explicación:
espero que te ayude