La contaminación de los ríos de Estados Unidos ha sido un problema por muchos años. Considere los siguientes eventos: A: el río está contaminado. B: al probar una muestra de agua se detecta contaminación. C: se permite pescar. Suponga que: �(�) = 0.3, �(�|�) = 0.75, �(�|�.) = 0.20, �(�|� ∩ � ) = 0.20, �(�|�. ∩ � ) = 0.15, �(�|� ∩ �.) = 0.80 � �(�|�. ∩ �.) = 0.90. a) Calcule P (A ∩ B ∩ C). b) Calcule P (BC ∩ C). c) Calcule P(C). d) Calcule la probabilidad de que el río esté contaminado, dado que está permitido pescar y que la muestra probada no detectó contaminación.
Respuestas a la pregunta
La probabilidad de que el río este contaminado es de 80%
Explicación:
La contaminación de algunos ríos ha sido un problema por muchos años. Considere los siguientes eventos:
P(A) = 0.3
P(B| A) = 0.75
P(B| A^c) = 0.20
P(C| A∩B) = 0.20
P(C| A^c∩B) = 0.15
P(C| A∩B^c) =0.80
P(C| A^c ∩ B^c) = 0.90
(a) Encontrar P(A ∩ B ∩ C)
P(B|A) = 0.75
P(B∩A) / P(A) = 0.75
P(B∩A) / 0.3 = 0.75
P(A∩B) = 0.225
P(C | A∩B) = 0.20
P(C∩A∩B) / P(A∩B) = 0.20
P(C∩A∩B) / 0.225 = 0.20
P(A∩B∩C) = 0.045
(b) Encontrar P(B^c ∩ C)
Como:
P(C ) = (B∩C) U (B^c∩C)
P(C) = P(B∩C) + P(B^c∩C)
P(C)=0.14
P(B∩C) = P[A∩(B∩C)] + P[A^c∩(B∩C)] = 0.045 + P[A^c∩(B∩C)]
0.20 = P(B | A^c) = P(A^c ∩ B) / P(A^c) =
P(A^c ∩ B)/(1-0.3) = P(A^c ∩ B)/0.7
P(A^c ∩ B)/0.7 = 0.20
P(A^c ∩ B) = 0.14
0.15 = P(C | A^c ∩ B) = P(A^c ∩ B∩C) / P(A^c∩B) =
P(A^c ∩B∩C) / 0.14
P(A^c ∩B∩C) = 0.15 * 0.14
P(A^c ∩B∩C) = 0.021
Entonces:
P(B∩C) = 0.045+0.021 = 0.066
P(B∩C) =0.066
Ahora si :
0.14 = 0.066 + P(B^c∩C)
P(B^c∩C) = 0.14 - 0.066
P(B^c∩C = 0.074
(c) Encontrar P(C)
Dado que:
0.15 = P(C| A^c ∩ B) = P(A^c ∩B∩C)/P(C)
Como:
P(A^c∩B∩C) = 0.021
0.15 = 0.021 /P(C)
P(C) = 0.021 / 0.15
P(C)= 0.14
(d) Encontrar la probabilidad de que el río está contaminado, dado que la Pesca está permitida y la prueba de una muestra de agua no detecta contaminación.
P(A | B^c ∩ C) = P(A∩B^c ∩ C) / P(B^c ∩ C) =
P(A∩B^c ∩ C) / 0.074
0.8 = P(C|A∩B^c) = P(A∩B^c ∩C) / P(B^c ∩ C)
0.8 = P(A∩B^c ∩C) / 0.074
P(A∩B^c ∩C) = 0.8 * 0.074
P(A∩B^c ∩C) = 0.0592
Sustituyendo este valor
P(A | B^c ∩ C) = 0.0592 / 0.074
P(A | B^c ∩ C)= 0.8