Question

La circunferencia es un conjunto de puntos (x, y) en el plano cartesiano que equidistan a un punto fijo llamado centro. La distancia fija se le llama radio. La ecuación x2 + y2 + 4x - 6y + 12 = 0, representa una circunferencia con las siguientes características:

Answer 1

La ecuación general de la circunferencia tiene la siguiente forma:

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

donde h y k son las coordenadas del centro.

Es necesario reescribir mediante el álgebra la ecuación dada para obtener la forma presentada anterior ya que esta nos permitirá deducir todas las características fácilmente.

El primer paso que hay que seguir para encontrar la ecuación canónica es reagrupar los términos comunes para luego completar el cuadrado. 

$(x^2 +4x ) + (y^2-6y ) + 12 = 0$

completemos el cuadrado del primer paréntesis primero. 

para esto es necesario añadir un numero tal que se cumpla $(\frac{b}{2})^{2$ en este caso b = 4, por lo que el cuadrado del numero seria (4/2)^2 = 2^2 = 4 

De manera que para completar el cuadrado agregamos este numero al paréntesis en nuestra ecuación reescrita. 

$(x^2 +4x +4) + (y^2-6y ) + 12 = 0$

Pero ojo, como hemos añadido 4 unidades para no alterar la ecuación restamos 4 unidades , por lo que es como si hubiésemos añadido 0. (osea no la alteramos)

por lo que podemos proceder : 

$(x^2 +4x +4) + (y^2-6y ) + 12 -4 = 0$ análogamente procedemos de la misma manera con el segundo paréntesis (el que tiene las y) aquí vemos que (b/2)^2 = (-6/2)^2 = (-3)^2 = 9.  Nuevamente sumamos esta cantidad en el paréntesis y la restamos afuera de ellos para no alterar la ecuación. 

$(x^2 +4x +4) + (y^2-6y + 9) + 12 -4-9 = 0$

finalmente y sabiendo que el producto notable : $a^2 +2ab+b^2 = (a+b)^2$ y $a^2 -2ab+b^2 = (a-b)^2$ podemos rescribir finalmente 

Agrupamos los productos notables y restamos los números: 

$(x+2)^2 + (y-3)^2 + 12 -13 = 0$  =>

$(x+2)^2 + (y-3)^2  -1 = 0$  =>  sumamos 1 en ambos lados.

$(x+2)^2 + (y-3)^2   = 1$  

De aquí finalmente podemos extraer las características que definen a la circunferencia, es decir la circunferencia posee centro ubicado en el punto (-2,3) y tiene radio = 1.