Question

la circunferencia de la ecuación canonica es x2+y2+6x-14y-6=0 Determine su centro C(h,k) y su radio r

Answer 1

El centro de la circunferencia es C(-3,7) y el radio de la misma es 8.

Explicación paso a paso:

Esta ecuación canónica se tiene que llevar a una ecuación de tipo:

$(x+x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

Para poder hallar el centro y el radio ya que en esta ecuación tales parámetros quedan explícitos como el centro (x0,y0) y el radio r. Para ello tengamos en cuenta que es:

$(x-x_0)^2=x^2-2x_0x+x_0^2\\\\(y-y_0)^2=y^2-2y_0y+y_0^2$

La ecuación de la circunferencia reemplazando esto último queda:

$x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+y_0^2-r^2=0$

O reordenando los términos:

$x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+x_0^2+y_0^2-r^2=0$

Encontramos que en los términos lineales de la ecuación canónica podemos hallar las coordenadas del centro.

$-2x_0x=6x=> x_0=-3\\-2y_0y=-14y=> y_0=7$

Con lo que el centro de la circunferencia es (-3,7). Ahora en los términos independientes tenemos:

$x_0^2+y_0^2-r^2=-6$

Como ya tenemos las coordenadas del centro las podemos reemplazar:

$(-3)^2+7^2-r^2=-6\\\\9+49-r^2=-6\\\\r^2=64\\r=8$.

Tomamos solo el valor positivo de la raíz cuadrada en este caso. Y queda que el radio es 8.