Question

La cima de una meseta , esta a 200 m. sobre el nivel del suelo de un valle,
si el ángulo de depresión (ángulo medido desde la horizontal superior hasta
el objeto) de un automóvil que se mueve hacia el observador es de 25o. ¿ A
qué distancia está el auto del observador?.

Answer 1

La distancia del observador al automóvil es de 473,24 metros.

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En nuestro imaginario triángulo rectángulo éste está conformado por el lado AB  (cateto a) que equivale a la altura de la meseta desde el nivel del suelo hasta su cima, el lado BC (cateto b) que es la distancia desde la base de la meseta hasta el automóvil, y el lado AC (c) que representa la distancia visual desde el observador -que se encuentra en la cima de la meseta- hasta el automóvil bajo un ángulo de depresión de 25°

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la altura de la meseta desde el nivel del suelo hasta la cima, que es el punto donde se encuentra el observador, y el ángulo de depresión de 25° que se forma cuando la persona mira desde lo alto de la meseta al automóvil.

• Distancia desde el nivel del suelo hasta la cima de la meseta= altura de la meseta  = 200 m

• Ángulo de depresión = 25°

• Debemos hallar la distancia entre el observador y el automóvil = AC (c)

Si 25° es uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo,

Y el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a ó lado AB) y la hipotenusa (c ó lado AC)

Como conocemos el valor del cateto opuesto( (a ó lado AB) y del ángulo de depresión que se forma cuando el observador mira desde la cima al automóvil, por lo que podemos relacionar a ambos mediante el seno de α.

Planteamos

$\boxed {\bold {sen (25)\° = \frac{ cateto \ opuesto }{ hipotenusa } = \frac{AB}{AC} }}$

$\boxed {\bold {sen (25)\° = \frac{ altura \ de \ la \ meseta }{ distancia \ del \ observador \ al \ auto } = \frac{AB}{AC} }}$

$\boxed {\bold {AC = distancia \ del \ observador \ al \ auto = \frac{ altura \ de \ la \ meseta}{ sen(25)\° } }}$

$\boxed {\bold {AC = distancia \ del \ observador \ al \ auto = \frac{ 200 \ metros}{ sen(25)\° } }}$

$\boxed {\bold {AC = distancia \ del \ observador \ al \ auto = \frac{ 200 \ metros}{ 0,422618 } }}$

$\boxed {\bold {AC = distancia \ del \ observador \ al \ auto = \ 473,24 \ metros}}}$