Question

la casa de Paco se encuentra a 150 m de la tienda más cerca y a 130 m de la casa de Alondra si el ángulo entre estas dos trayectorias es de 110° ¿Cuál es la distancia más cerca de la casa de Alondra a la tienda?​

Answer 1

La distancia más cercana de la casa de Alondra a la tienda es de aproximadamente 229.65 metros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C ubicamos la casa de Paco donde el lado BC (a) representa la distancia de la casa de Paco hasta la tienda -ubicada en B- y el lado AC (b) equivale a la distancia de la casa de Paco hasta la casa de Alondra -que se encuentra en A-.  Donde ambas trayectorias forman un ángulo de 110°.

Donde se pide hallar la distancia más cercana desde la casa de Alondra a la tienda, siendo esta una distancia en línea recta

La distancia más cercana está dada por el lado faltante del triángulo

Conocemos el valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para hallar la dimensión de tercer lado

Hallamos el lado faltante del triángulo

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =( 150 \ m)^{2} + (130 \ m)^{2} - 2 \ . \ 150 \ m \ . \ 130\ m \ . \ cos(110)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 22500 \ m^{2} + 16900 \ m^{2} - 39000 \ m^{2} \ . \ cos(110)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 22500 \ m^{2} + 16900 \ m^{2} - 39000 \ m^{2} \ . \ -0.342020143325 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 39400\ m^{2} + 13338.78 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} =52738.78 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{52738.78 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 52738.78 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 229.64925\ m }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 229.65\ m}}$

La distancia más cercana de la casa de Alondra a la tienda es de aproximadamente 229.65 metros

Se adjunta gráfico