Question

La cantidad de dinero que tienen Álvaro y Bruno se encuentran en la relación de 4 a 7. Si Bruno le prestase S/ 9 a Álvaro, ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero debe prestar Álvaro a Bruno, para que éste tenga el doble que él?

Answer 1

Respuesta:

Debe prestarle S/ 2.

Explicación paso a paso:

Primero, sabemos que la relación de Álvaro y Bruno es 4/7. Si llamamos a al dinero que tiene Álvaro y b al que tiene Bruno, podemos formar la siguiente ecuación:

$\frac{a}{b} = \frac{4}{7}$

Si realizamos productos cruzados e igualamos a 0, tenemos que:

$7a = 4b \\ 7a - 4b = 0$

A esta la llamamos Ec. 1.

Ahora, sabemos que si Bruno presta 9 a Álvaro, tendremos la misma cantidad. Esto significa que Bruno pierde 9 (resta) y Álvaro gana 9 (suma), y ambas cantidades son iguales. Lo expresamos e igualamos a la constante (Ec 2.):

$b - 9 = a + 9 \\ a - b = - 18$

Con Ec. 1 y Ec. 2 formamos un sistema de ecuaciones que resuelves con el método que más se te acomode (no lo escribo por ahorrar tiempo)

El resultado final es:

$a = 24 \\ b = 42$

Éste es el dinero que cada uno tiene, pero tu problema pregunta "¿Cuánto tiene que prestar Álvaro a Bruno para que el segundo tenga el doble del primero?"

Llamaremos x a la cantidad que debe prestarle para cumplir la condición. Sabemos que Álvaro perderá x soles, y Bruno los ganará. Además, Álvaro tiene que tener el doble de esa cantidad para igualar a Bruno, entonces lo expresamos:

$2(a - x) = b + x$

Pero sabemos cuánto vale a y b, entonces sustituimos y despejamos x:

$2(24 - x) = 42 + x \\ 48 - 2x = 42 + x \\ 3x = 48 - 42 \\ 3x = 6 \\ x = 2$

Por tanto, Álvaro debe prestarle 2 soles a Bruno para que éste tenga el doble que el primero (puedes comprobar: si lo anterior pasa, Álvaro tendría 22 y Bruno 44, lo cual verifica nuestro procedimiento).