Question

La calificación aprobatoria en un examen que consta de 10 problemas es 70%. En promedio, cierto estudiante resuelve correctamente 4 de cada 5 problemas. Calcular la probabilidad de que apruebe el examen.

Answer 1

3.1- Si un estudiante responde al azar a un examen de 8 preguntas de verdadero o falso ¿Cual es la probabilidad de que acierte 4? ¿Cual es la probabilidad de que acierte dos o menos? ¿Cual es la probabilidad de que acierte cinco o más? ¿Cuanto valen la media y la varianza del número de preguntas acertadas?
Solución.
La distribución del número de aciertos será una distribución Binomial de parámetros n = 8 y p = 1/2, en consecuencia:
8 70 Pr(ξ=4)= ⋅0,54 ⋅0,54 =
=0,273 Para resolver los dos apartados siguientes calculamos previamente
Terma 3. Distribuciones. 9
4 256
8 Pr(ξ=0)= ⋅0,50 ⋅0,58 =
1 256
8 256
28 256
56 256
Pr(ξ ≥ 5) = 1 − Pr(ξ ≤ 4) = 1 − (0,004 + 0,031 + 0,109 + 0,219 + 0,273) = 0,364
La media y la varianza se obtienen aplicando la expresión obtenida de forma general
para la media y la varianza de una distribución Binomial:
E[ξ]=n·p=8·0,5=4 y Var[ξ]=n·p·q=8·0,5·0,5=2
3.2- En una población en la que hay un 40% de hombres y un 60% de mujeres seleccionamos 4 individuos ¿Cual es la probabilidad de que haya 2 hombres y 2 mujeres? ¿Cual es la probabilidad de que haya más mujeres que hombres?
0
=0,004 =0,031 = 0,109 =0,219
 8 Pr(ξ=1)=⋅0,51⋅0,57 =
 1
8
Pr(ξ = 2)=   ⋅0,52 ⋅0,56 =
2
8 Pr(ξ=3)= ⋅0,53 ⋅0,55 =
3
Pr(ξ ≤ 2) = Pr (ξ = 0) + Pr (ξ = 1) + Pr (ξ = 2) = 0,004 + 0,031 + 0,109 = 0,144