Question

La base de una cerca circular de radio 10 m est´a dada con x = 10 cost, y = 10 sen t. La altura de la cerca en la posici´on (x, y) est´a dada por la funci´on h(x, y) = 4 + 0,01(x 2 − y 2 ), de modo que la altura var´ıa desde 3 m hasta 5 m. Suponga que 1 litro de pintura cubre 100 m2 . Dibuje la cerca y determine cu´anta pintura necesitar´a si pinta ambos lados de la cerca.

Answer 1

Para pintar ambos lados de la cerca se necesitan 5.02 litros de pintura.

Para poder llegar a esta conclusión, debemos calcular la integral de línea de alrededor de una circunferencia de radio 10, para hacer esto, debemos recordar que la integral de línea se define como

$\int_C {h(x,y)} \, ds  = \int\limits^{2\pi}_0{h(t)\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt}$

En este caso, para hallar h(t), sustituimos los valores de x e y en su definición

$x(t) = 10cos(t)\\\\y(t) = 10sin(t)\\\\h(x,y) = 4 + 0.01(x^2 - y^2) = 4 + 0.01(100cos^2(t)  - 100sin^2(t)) = 4+ cos(2t)\\\\h(t) = 4 + cos(2t)$

Aquí se hace uso del hecho que cos²(t) - sin²(t)=cos(2t).

Además, debemos saber lo siguiente

$\sqrt{ (10cos(t))^2 + ( 10sin(t) )^2} = 10 \sqrt{cos^2(t) + sin^2(t)} = 10$

Teniendo todo esto en cuenta, la cantidad de litros de pintura es

$\frac{2}{100} \int_C{h(x,y) } \, ds = \frac{1}{50} \int\limits^{2\pi}_0{h(t) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)}}\,dt$

Dado que se quiere pintar los dos lados de la cerca y cada 100 metros cuadrados son un litro de pintura, viendo esto, podemos simplificar

$\sqrt{x'^2 + y'^2} = \sqrt{(-10sin(t))^2 + (10cos(t))^2}= 10\sqrt{sin^2(t)+cos^2(t)} = 10$

Lo que queda

$\frac{1}{50} \int\limit^{2\pi}_0{h(t) \sqrt{x'^2 + y'^2}} \,dt= \frac{10}{50} \int\limits^{2\pi}_{0}{4 + cos(2t)} \,dt = \frac{1}{5}(4*2\pi) + \frac{1}{5}\int^{2\pi}_0{cos(2t)} \,dt = \frac{8}{5}\pi$

Que es aproximadamente 5.02 litros