Question

La altura de un cono circular recto se incrementa con una tasa de
40cm/min y el radio se incrementa con una tasa de 4cm/min.
Obtenga la tasa de variación del volumen en el instante en que la
altura es de 200cm y el radio es de 60cm.

Answer 1

La tasa de variación del volumen en el instante en que la altura es de  200  cm y el radio es de 60  cm  es de  80000·π  cm³/min  (aproximadamente  251327 cm³/min).

Explicación paso a paso:

El volumen (V) de un cono circular recto, de radio (r) y altura (h), se calcula mediante la fórmula:

$\bold{V~=~\dfrac{\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}$

Esta fórmula constituye la función volumen del cono y depende del radio y de la altura del sólido. El planteamiento indica que debemos calcular la tasa en que cambia el volumen en la unidad de tiempo, la función derivada, con respecto a las tasas en que cambian el radio y la altura.

Para este cálculo, aplicamos el concepto de la derivada total y la técnica de derivación en cadena; entendiendo que si el volumen depende del tiempo, entonces el radio y la altura también son funciones que dependen del tiempo.

$\bold{\dfrac{dV}{dt}~=~\dfrac{\partial V}{\partial r}\cdot\dfrac{dr}{dt}~+~\dfrac{\partial V}{\partial h}\cdot\dfrac{dh}{dt}}$

Nuestro problema se reduce a calcular las derivadas parciales de la función volumen, con respecto a radio y altura, y aplicar la fórmula de derivación en cadena, sustituyendo los valores dados para responder a la situación planteada.

$\dfrac{\partial V}{\partial r}~=~\dfrac{2\cdot\pi\cdot r\cdot h }{3}$

$\dfrac{\partial V}{\partial h}~=~\dfrac{\pi\cdot r^2}{3}$

Sustituimos en la derivada total

$\bold{\dfrac{dV}{dt}~=~\dfrac{2\cdot\pi\cdot r\cdot h }{3}\cdot\dfrac{dr}{dt}~+~\dfrac{\pi\cdot r^2}{3}\cdot\dfrac{dh}{dt}}$

Para responder la interrogante, sabemos que

$\bold{r~=~60~cm\qquad\dfrac{dr}{dt}~=~4~\dfrac{cm}{min} \qquad h~=~200~cm\qquad\dfrac{dh}{dt}~=~40~\dfrac{cm}{min}}$

Sustituimos en la derivada total

$\bold{\dfrac{dV}{dt}~=~\dfrac{2\cdot\pi\cdot (60)\cdot (200) }{3}\cdot(4)~+~\dfrac{\pi\cdot(60)^2}{3}\cdot(40)~=~80000\cdot\pi~\dfrac{cm^3}{min}}$

La tasa de variación del volumen en el instante en que la altura es de  200  cm y el radio es de  60  cm es de  80000·π  cm³/min (aproximadamente  251327 cm³/min).