La agencia publicitaria CONDOR S.A. puede producir un afiche con un costo de S/20 por unidad. Se estima que, si el precio de venta del afiche es “x” soles, el número de afiches que se vende por semana es 180 – x.
Determine:
a. La función utilidad U semanal en función del precio de cada afiche.
b. Determine el precio que maximiza la utilidad y la utilidad máxima que se logrará.
Respuestas a la pregunta
a. La función utilidad U semanal en función del precio de cada afiche producido por la agencia publicitaria CONDOR S.A.
U = (180-x).x – 20x = -20x+180x-X2
U = 160x-x2
b. Determine el precio que maximiza la utilidad y la utilidad máxima que se logrará.
x1 = -160 - √256002•(-1) = -160 - 160-2 = -320-2 = 160
El precio es 160
La función utilidad U semanal en función del precio x de cada afiche es:
U = 200 x - x² - 3600
El precio de venta de cada afiche que maximiza la utilidad es de S/100 y la utilidad semanal máxima que se logrará es de S/6400.
Explicación:
La función Utilidad (U) es la diferencia entre la función Ventas (v) y la función Costo (c).
La función v viene dada por el producto del precio de venta (x) por el número de afiches (180 - x) producidos y vendidos.
La función c viene dada por el producto del costo de producción (S/20) por el número de afiches (180 - x) producidos.
v = x (180 - x) = 180 x - x²
c = 20 (180 - x) = 3600 - 20 x
U = v - c ⇒ U = (180x - x²) - (3600 - 20 x) = 200 x - x² - 3600
La función utilidad U semanal en función del precio x de cada afiche es:
U = 200 x - x² - 3600
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de U.
U' = 200 - 2x
U' = 0 ⇒ 200 - 2x = 0 ⇒ x = 100
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
U'' = -2
Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
U''(100) < 0 ⇒ x = 100 es un máximo de la función U
Cuarto, evaluamos la función en el valor máximo de x y obtenemos el valor máximo de U; es decir, el valor de la mayor utilidad que se puede obtener.
U(100) = 200(100) - (100)² - 3600 = 6400
El precio de venta de cada afiche que maximiza la utilidad es de S/100 y la utilidad semanal máxima que se logrará es de S/6400.
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