Question

la aceleración de una partícula está definida por la relación: a = 9 − 3t² la partícula inicia en t = 0 con v = 0 y x = 5 m. determine a) el tiempo en que la velocidad es de nuevo cero, b) la posición y la velocidad cuando t = 4 s.​

Answer 1

La velocidad es 0 a los 3 segundos de iniciado el movimiento y a los 4 segundos la posición es de 141 metros y la velocidad es de -28 metros por segundo.

Explicación paso a paso:

La función velocidad de la partícula es la integral de la función aceleración con respecto al tiempo:

$v=\int\limits^{}_{}{ {a} \, dt=\int\limits^{}_{}{ {9-3t^2} \, dt \\\\v=9t-\frac{3t^3}{3}+C=9t+t^3+C$

Como en el instante inicial la velocidad es 0, queda C=0 y la función queda $v=9t-t^3$. El otro momento en que la velocidad es 0 es:

$9t-t^3=0\\t(9-t^2)=0\\\\9-t^2=0\\\\t=\sqrt{9}\\\\t=3, t=-3$

Nos quedamos con t=3s porque el otro resultado no tiene sentido físico.

La posición es la integral con respecto al tiempo de la velocidad por lo que queda:

$x=\int\limits^{}_{} {v} \, dt =\int\limits^{}_{} {9t-t^3} \, dt \\\\x=\frac{9}{2}t^2-\frac{t^4}{4}+C$

Como la posición inicial es 5 metros queda:

$x(0)=\frac{9}{2}0^2-\frac{0^4}{4}+C=5\\\\C=5$

Con lo cual la posición cuando es t=4s es:

$x(4)=\frac{9}{2}.(4s)^2+\frac{(4s)^4}{4}+5=141m$

Y la velocidad es:

$v(4)=9.4s-(4s)^3=-28\frac{m}{s}$