Question

La aceleración de una motocicleta está dada por ₓ(t) = At - Bt² donde A = 2 m/s³ y B= 3m/s⁴. la motocicleta está en reposo en el origen cuando t=0.
Obtenga su posición y velocidad en función de t

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta      

       Funciones de movimiento

Veamos un poco de teoría

Supongamos que nos dan la aceleración de un móvil en función del tiempo, la denotamos como a(t)

$a(t)= a$

"a" no necesariamente debe ser una constante, puede también ser un polinomio

Si integramos la función aceleración con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad

$\int\limits[a(t) ]dt= \int\limits(a) dt$

$V(t)= at+A$

Donde:

A: es una constante

Y si integramos de nuevo la función velocidad, obtenemos la función posición

$\int\limits[V(t) ]dt= \int\limits(at+A)dt$

$X(t)= \frac{at^{2} }{2} +A*t+B$

Donde:

 B: es otra constante

Para obtener el valor de estas constantes, debemos de tener algún dato conocido, ya sea de posición en algún instante Ademas debemos tener algunos conceptos básicos sobre integración

Vamos al ejercicio

Tenemos la función aceleración

$a(t)= 2\frac{m}{s^{3} }*t-3\frac{m}{s^{4} } *t^{2}$

 Integramos a(t)

$\int\limits[a(t) ]dt= \int\limits(2\frac{m}{s^{3} }*t-3\frac{m}{s^{4} } *t^{2})dt$

$V(t)= 1\frac{m}{s^{3} } t^{2}-1\frac{m}{s^{4} } t^{3} +A$

El dato que tenemos es que la motocicleta esta en reposo en t= 0s, es decir su velocidad es nula

$V(0s)= 1\frac{m}{s^{3} } *(0s)^{2} -1\frac{m}{s^{4} }*(0s)^{3} +A$

$0= 0-0+A$

$0= A$

Esta constante vale 0, por lo tanto la función velocidad es de:

$V(t)= 1\frac{m}{s^{3} } *t^{2} -1\frac{m}{s^{4} } *t^{3}$

  Ahora debemos integrar la función velocidad

$\int\limits[V(t) ]dt= \int\limits (1\frac{m}{s^{3} } *t^{2} -1\frac{m}{s^{4} } *t^{3})dt$

$X(t)= \frac{1}{3} \frac{m}{s^{3} } t^{3} -\frac{1}{4} \frac{m}{s^{4} } *t^{4} +B$

Recordemos que la motocicleta esta en reposo en el origen, es decir en 0m

$X(0s)= \frac{1}{3}\frac{m}{s^{3} } *(0s)^{3} -\frac{1}{4} \frac{m}{s^{4} } *(0s)^{4} +B$

$0m= 0m -0m +B$

$0m= B$

Entonces la función posición es:

$X(t)= \frac{1}{3} \frac{m}{s^{3} } *t^{3} -\frac{1}{4} \frac{m}{s^{4} } *t^{4}$

Te dejo un ejercicio similar

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Saludoss