Karen invito a diecisiete amigos a su fiesta de cumpleaños. Asignó a cada invitado un número del 2 al 18, reservándose el 1 para ella misma. Cuando todo el mundo estaba bailando, se dio cuenta de que la suma de los números de cada pareja era un cuadrado perfecto. Determine el número que tiene la pareja de Karen.
Un cuadrado perfecto es el resultado de multiplicar un número entero por si mismo. Por ejemplo 9=3x3.
Respuestas a la pregunta
Solución. Como cada pareja, sumando sus números, el resultado es un cuadrado perfecto, entonces las sumas de las parejas son de la forma 1,4,9,16,25,36,49, etc...
Como, obviamente, nadie baila consigo mismo, nadie tiene mas de una pareja, y suponemos que nadie se queda sin bailar, podemos excluir el caso en el que la suma vale 1. También, como lo máximo que pueden sumar las parejas es 18+17 = 35, y 35 no es un cuiadrado perfecto, podemos acotar entonces las sumas a 4,9,16 y 25
Ahora, observemos que 18, 17 y 16 son mayores o iguales a 16, por lo que la suma con su pareja debe ser mayor a 16. Entonces suman 25 necesariamente. Por lo tanto, 18 baila con 7, 17 baila con 8 y 16 baila con 9. Excluyendo a estos invitados, las posibles parejas que se pueden formar son las siguientes:
parejas que sumarían 25: (15,10), (14,11), (13,12),
parejas que sumarían 16: (15,1), (14,2), (13,3), (12,4), (11,5), (10,6)
parejas que sumarían 9: (6,3), (5,4)
parejas que sumarían 4: (1,3)
Supongamos que Isa (1) baila con 3. Entonces 15 no puede bailar con 1, por lo que la única pareja posible para 15 es 10. Si 15 baila con 10, entonces 10 no puede bailar con 6. Pero las únicas parejas que podía tener 6 eran 10 y 3, y 3 está bailando con 1!!! Contradicción, ya que 6 se quedó sin pareja.
Por lo tanto, la única pareja que posible para 1 es 15.
Por método de eliminación podemos ir descubriendo las parejas, a partir de lo que conocemos.
Como 1 baila con 15, entonces 15 no baila con 10, por lo tanto 10 baila con 6.
Como 10 baila con 6, 6 no baila con 3, y como 1 baila con 15, 1 no baila con 3. Por lo tanto, 3 baila con 13.
Como 3 baila con 13, 13 no baila con 12 . Por lo tanto 12 baila con 4.
Como 12 baila con 4, 4 no baila con 5. Por lo tanto 5 baila con 11.
Como 11 baila con 5, entonces 11 no baila con 14. Por lo tanto 14 baila con 2.
Luego entonces, las parejas son:
(1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,18), (8,17) y (9,16)