Question

Julie tiene una página de Facebook y está muy interesada en tener una gran cantidad de amigos en esta red social. El número de amigos agregados a su página sigue un proceso de Poisson con una tasa de = 3 personas por semana
.1)¿Cuál es la probabilidad de que en una semana en particular gane menos de tres ¿amigos?
2)Encuentre cuanto tiempo tiene que esperar de ahora en adelante para que pueda hacer al menos una nueva amigo con una probabilidad del 99%
.3)Suponga que durante una semana en particular no hizo nuevos amigos entre el domingo y el viernes, y el viernes por la noche se sintió muy decepcionada y quería saber la probabilidad de que haya al menos un nuevo amigo el sábado de esa semana. ¿Puedes dar una respuesta a su pregunta?

Answer 1

En este proceso de Poisson Julie tiene:

37,3% de probabilidad de ganar menos de 3 amigos en una semana en particular.

Tiene que esperar 1,54 semanas ó 10,75 días para tener el 99% de probabilidad de hacer un nuevo amigo.

Tiene 34,86% de probabilidad de hacer al menos un amigo el sábado luego de no haber hecho ninguno en la semana.

Explicación paso a paso:

Si el número de amigos agregados sigue un proceso de Poisson, la distribución de probabilidad es la de Poisson con tasa de 3 personas por semana y periodo de una semana por lo que es:

$\lambda=3.1=3$

Entonces queda:

1) La probabilidad de ganar menos de 3 amigos es la suma entre las probabilidades de ganar 0, 1 y 2 amigos:

$P(a<3)=P(0;3)+P(1;3)+P(2;3)\\\\P(a<3)=\frac{e^{-3}.3^0}{0!}+\frac{e^{-3}.3^1}{1!}+\frac{e^{-3}.3^2}{2!}\\\\P(a<3)=0,373=37,3\%$

2) La probabilidad de hacer al menos un nuevo amigo puede interpretarse como la probabilidad de no hacer 0 amigos, entonces trabajamos con la probabilidad de hacer 0 amigos la cual no debe ser mayor de 1-0,99=0,01.

$P(0;\lambda)=\frac{e^{-\lambda}.\lambda^{0}}{0!}=0,01\\\\P(0;\lambda)=\frac{e^{-\lambda}}{1}=0,01\\\\-\lambda=ln(0,01)\\\\\lambda=4,6052$

Y como es $\lambda=nt$ y es n=3, el tiempo que Julie tiene que esperar es:

$t=\frac{\lambda}{n}=\frac{4,6052}{3}\\\\t=1,5351$

Lo que equivale a un tiempo de 1,5351 semanas ó 10,75 días.

3) Para hallar la probabilidad de que haya al menos un nuevo amigo el sábado tendremos que usar un período de 1/7 de semana, y podemos empezar hallando la probabilidad de tener 0 amigos nuevos:

$\lambda=n.t=3.\frac{1}{7}=\frac{3}{7}\\\\P(0;3/7)=\frac{e^{-\frac{3}{7}}.(\frac{3}{7})^{0}}{0!}\\\\P(0;3/7)=e^{-\frac{3}{7}}=0,6514=65,14\%$

La probabilidad de hacer al menos un nuevo amigo es ese suceso negado:

$P(1;3/7)=1-0,6514=0,3486=34,86\%$