Question

Juanita ahorra 32 dolares a la semana prevee incrementar el ahorro 8 veces la misma cantidad el proximo mes ¿cuanto habra ahorrado en 5 meses?¿cual sera el ahorro de Juanita en 7 años?

Answer 1

Progresiones aritméticas. Problemas.

Aclaremos primero un punto algo confuso del texto.

Cuando habla de que prevé incrementar 8 veces esa cantidad de 32 dólares cada mes, debe estar refiriéndose a sumar esa cantidad a lo ahorrado en el mes inicial y seguir ahorrando lo mismo de manera sucesiva durante los meses siguientes lo cual implica que se sumaría a lo que ya llevara ahorrado de los meses anteriores.

Siendo así, hay que resolverlo recurriendo a las progresiones aritméticas  (en adelante, PA)  que son aquellas sucesiones de números  ---o términos---  donde cada término se obtiene de sumar algebraicamente una cantidad fija (llamada diferencia "d") al término anterior.

En este ejercicio lo que pasaría es que el primer mes ahorra 32 dólares y al siguiente y posteriores meses prevé ahorrar el resultado de multiplicar por 8 esa cantidad inicial. Es decir:

32 × 8 = 256 dólares es la diferencia "d" entre términos consecutivos.

Así pues, lo que debemos sumar a dicha cantidad inicial para saber lo que ahorra los siguientes meses es esa diferencia y para responder la primera pregunta  (que cuenta con 5 meses)  hemos de contar con los datos facilitados que son:

• Primer término de la PA ... a₁ = 32
• Diferencia entre términos consecutivos... d = 256
• Nº de términos (meses) ... n = 5
• Queremos conocer el valor del 5º término ... a₅

La fórmula general para este tipo de progresiones dice:

$a_n=a_1+(n-1)*d\ \ ... sustituyo\ valores\ ...\\ \\ a_5=32+(5-1)*256=32+1024=1056$

Esto responde a la primera pregunta.

En 5 meses habrá ahorrado 1.056 dólares.

Para la segunda pregunta tan solo hemos de convertir los años en meses multiplicando  7×12 = 84 meses y tomando este dato como nuevo número de términos de la PA de forma que ahora es  ... n = 84 y hemos de calcular el valor del término que ocupa el lugar 84 en la PA.

Aplico de nuevo la fórmula cambiando ese dato:

$a_{84}=32+(84-1)*256=32+21248=21280$

En 7 años habrá ahorrado 21.280 dólares.

Saludos.