Question

Juan y Edgar se encuentran entrenando futbol soccer, ambos se encuentran separados una distancia
entre si de 24 metros, el angulo de tiro de Juan hacia el centro de la porteria es de 58 y el de Edgar
hacia el mismo punto es de 42 si ambos golpean un balón hacia el centro de la porteria. ¿Qué
distancia recorrera el balón que golpee Juan? ¿Qué distancia recorrera el balon golpeado por Edgar?
Distancia del balón de JUAN=
Distancia del balón de EDGAR=

Answer 1

El balón pateado por Juan recorre una distancia de 16.31 metros y el balón pateado por Edgar recorre una distancia de 20.67 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un triángulo ABC el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos jugadores de fútbol soccer Juan y Edgar- donde Juan se ubica en el vértice A y Edgar en el B- y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las dos distancias desde Juan y Edgar respectivamente hasta donde se encuentra la portería, - en el vértice C- . Y al mismo tiempo representan las distancias que recorren los balones pateados por cada uno.  Donde Juan tiene un ángulo de tiro a la portería en C de 58° y Edgar tiene un ángulo de tiro al mismo punto de 42°

En donde se debe calcular que distancia recorrerán los balones pateados por cada uno de ellos hasta la portería

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Denotamos a los ángulos dados por enunciado: de 58° y de 42° como α y β respectivamente

Hallamos el valor del del tercer ángulo C- donde se encuentra el centro de la portería-  al cual denotamos como γ  

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo acutángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 58^o+ 42^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 58^o- 42^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 80^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 80°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor del lado b (lado AC) -distancia recorrida por el balón pateado por Juan hasta la portería-

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen (42 ^o ) } = \frac{ 24 \ m }{sen(80^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 24 \ m \ . \ sen(42 ^o ) }{\ sen(80^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 24 \ m \ . \ 0.6691306063588 }{0.9848077530122 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 16.0591345526112 }{0.9848077530122 }\ m}}$

$\boxed { \bold { b \approx 16.3068\ metros }}$

$\large\boxed { \bold { b = 16.31 \ metros }}$

La distancia que recorre el balón pateado por Juan a la portería es de aproximadamente 16.31 metros

Hallamos el valor del lado a (lado BC) -distancia recorrida por el balón pateado por Edgar hasta la portería-

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen (58 ^o ) } = \frac{ 24 \ m }{sen(80^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 24 \ m \ . \ sen(58 ^o ) }{\ sen(80^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 24 \ m \ . \ 0.8480480961564 }{0.9848077530122 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 20.353154307754 }{0.9848077530122 }\ m}}$

$\boxed { \bold { a \approx 20.6671\ metros }}$

$\large\boxed { \bold { a = 20.67 \ metros }}$

La distancia que recorre el balón pateado por Edgar a la portería es de aproximadamente 20.67 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas