Question

Juan tiene que construir una caja con tapa. El dispone de 6 metros cuadrados de cartón para construir la caja con forma de prisma recto de base cuadrada. Obviamente él sabe que se puede construir una infinidad de cajas, pero está interesado en construir la que tenga volumen máximo. ¿Qué dimensiones debe tener la caja?
Juan decidió cambiar de idea y ahora desea construir la caja que tenga perímetro mínimo. ¿Cuáles serían las dimensiones de la caja y su volumen?

Answer 1

Respuesta:

Si Juan tiene que construir una caja con tapa. El dispone de 6 metros cuadrados de cartón para construir la caja con forma de prisma recto de base cuadrada. Obviamente él sabe que se puede construir una infinidad de cajas, pero está interesado en construir la que tenga volumen máximo.

Las dimensiones que debe tener la caja serán de $1 m * 1 m * 1 m$

Si Juan decidió cambiar de idea y ahora desea construir la caja que tenga perímetro mínimo.

Las dimensiones de la caja son $1 m * 1 m * 1 m$ y su volumen $1 m^3$

Explicación paso a paso:

El volumen de la caja sería:

$V=(\frac{x}{2})(\frac{x}{2})(\frac{y-\frac{x}{2} }{2} )=\frac{x^2}{4}(\frac{2y-x}{4} )=\frac{x^2}{16}(2y-x)$

Se sabe que la superficie del cartón es:

$6m^2=xy\implies y=\frac{6}{x}$

Al sustituir:

$V=\frac{x^2}{16}(2(\frac{6}{x})-x)= \frac{3x}{4}-\frac{x^3}{16}$

Los puntos máximos o mínimos son las soluciones $V'=0$

$V'=\frac{3}{4}-\frac{3x^2}{16}=0$

$x=\pm \sqrt{\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{16}}} =\pm\sqrt{\frac{48}{12}}=\pm\sqrt{4}=\pm2$

La solución posible para "x" es 2 m:

$V''=-\frac{6x}{16}=-\frac{3x}{8}$

Como la segunda derivada es negativa, es el valor máximo.

$y =\frac{6}{2}=3 m$

Entonces la caja tiene las dimensiones:

$\frac{x}{2} *\frac{x}{2}*(\frac{y-\frac{x}{2} }{2})=1m*1m*1m$

Para calcular el perímetro de una caja:

$P = 4 ancho + 4 largo + 4 alto$

Sustituyendo:

$P = 4((\frac{x}{2})+4(\frac{x}{2})+4(\frac{y-\frac{x}{2}}{2})$

$P=4x+2y-x=3x+2y=3x+2(\frac{6}{x})=3x+\frac{12}{x}$

$P'=3-\frac{12}{x^2}=0\implies \sqrt{\frac{12}{3}}=\pm2$

$P''=\frac{24}{x^3}\implies\frac{24}{2^3}=3$

Como al evaluarla en la segunda derivada con 2 nos da un valor positivo, es el valor de "x" para el perímetro mínimo.

$P=3(2)+\frac{12}{2}=12m$

Por lo que para x=2 y y=3 son los valores que dan el valor máximo de volumen y el valor mínimo de perímetro:

$V=1m*1m*1m=1m^3$

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