Question

Juan quiere encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5, 4) y (- 5, 8) en un plano de coordenadas rectangulares *

Answer 1

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5,4) y B (-5,8) está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = -\frac{2}{5} \ x \ + \ 6}}$

Solución

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5,4) y B (-5,8)

Para hallar la ecuación de la recta debemos primero determinar su pendiente

La pendiente de una recta se representa mediante la letra “m”

La pendiente es igual al cambio en y respecto al cambio en x

$\boxed{\bold {m = \frac{ cambio \ en \ y }{ cambio \ en \ x } }}$

El cambio en x es igual a la resta en la coordenada X (también llamada avance), y el cambio en y es igual a la resta en la coordenada Y (también llamada elevación)

$\boxed{\bold {m = \frac{ elevacion }{ avance } }}$

La pendiente esta dada por el cociente entre la elevación y el avance

Siendo la pendiente constante en toda su extensión

Si contamos con 2 puntos que conforman la recta, podemos obtener la pendiente de la recta

La pendiente está dada por

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados

$\boxed{\bold { A (5, 4) \ \ \ B( -5,8)} }$

Hallamos la pendiente

$\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 8-4 }{ -5-5 } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 4 }{ -10 } }}$

$\large\boxed{\bold {m =- \frac{ 2 }{ 5 } }}$

La pendiente de la recta es -2/5

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1  son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto A (5,4) tomaremos x1 = 5 e y1 = 4

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { - \frac{2}{5} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { (5,4) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (4) = -\frac{2}{5} \ . \ (x - (5) )}}$

$\boxed {\bold { y - 4 = -\frac{2}{5} \ . \ (x - 5 )}}$

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal o explícita

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y - 4 = -\frac{2}{5} \ . \ (x - 5 )}}$

$\boxed {\bold { y - 4 =- \frac{2x}{5} + \frac{10}{5} }}$

$\boxed {\bold { y - 4 =- \frac{2x}{5} + \ 2}}$

$\boxed {\bold { y=- \frac{2x}{5} + \ 2 \ +\ 4 }}$

$\boxed {\bold { y=- \frac{2x}{5} + \ 6 }}$

$\large\boxed {\bold { y = -\frac{2}{5} \ x \ + \ 6}}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada