Question

José desea fabricar cajas cerradas de 256cm3 de capacidad, la base debe ser un rectángulo cuy largo es el doble del ancho. El precio del material para la base y la tapa es de 3 soles por cm cuadrado, y para los lados es de 2 soles por cm cuadrado. Determinar las dimensiones de la caja que minimizan su costo.

Answer 1

El costo de la caja será mínimo si esta tiene dimensiones de 5,24 cm de ancho, 10,48 cm de largo y 4,66 cm de altura.

Explicación:

Si la caja tiene como base un rectángulo cuyo largo es el doble del ancho, su volumen es:

$V=a.b.h=a.2a.h=2a^2h=256cm^3$

A su vez, el costo de la caja, sabiendo que tiene 2 bases de área $2a^2$, dos caras laterales de área $2a.h$ y 2 caras laterales de área $a.h$ es:

$C=2.(2.2a^2)+3.(2.a.h+2.2a.h)\\\\C=8a^2+6ah+12ah=8a^2+18ah$

Podemos despejar de la expresión del volumen la altura de la caja, podemos poner todo en función del lado menor de la base:

$h=\frac{256}{2a^2}=\frac{128}{a^2}\\\\C=8a^2+18a\frac{128}{a^2}=8a^2+\frac{2304}{a}=\frac{8a^3+2304}{a}$

Para minimizar la función costo, la derivamos e igualamos la derivada a cero:

$C'=\frac{24a^2(a)-(8a^3+2304).1}{a^2}\\\\24a^3-8a^3-2304=16a^3-2304=0\\\\a=\sqrt[3]{\frac{2304}{16}}=5,24cm$

El largo y la altura de la caja son:

$b=2.5,24cm=10,48cm\\\\h=\frac{V}{2a^2}=\frac{256cm^3}{2(5,24cm)^2}=4,66cm$