Question

José, catedrático de la Universidad Privada del Norte, es docente del curso de cálculo 2. Él desea analizar los conocimientos que tienen sus estudiantes sobre el cálculo de volúmenes de sólidos por revolución. Por ello les plantea a sus estudiantes el siguiente problema: un sólido es formado al girar alrededor del eje X la región acotada por las gráficas de las funciones f(x)=cos⁡(x), g(x)=sen(x), y las rectas verticales x=0 y x=π/4. ¿Cuál será el volumen del sólido formado?

Answer 1

El volumen del sólido generado al girar la región alrededor de la recta    x  =  π/4   es   π/2 unidades cúbicas.

Explicación paso a paso:

Vamos a resolver el problema usando el método de discos o arandelas, ya que los discos tienen un hueco interno, para el cálculo de volumen de sólidos de revolución:

$\bold{V~=~\pi \int\limits^a_b {(R^{2}~-~r^{2})} \, dx}$

donde:

(a, b) es el intervalo que abarca la región plana en el eje de integración

R distancia que representa el radio mayor o exterior del sólido de revolución que se genera.

r distancia que representa el radio menor o interior del sólido de revolución que se genera.

En el caso que nos ocupa, figura anexa:

$V~=~\pi \int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 {\{[Cos(x)]^{2}~-~[Sen(x)]^{2}\}} \, dx\qquad\Rightarrow$

$V~=~\pi \int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 {Cos(2x)} \, dx\qquad\Rightarrow$

$V=~\pi\left[\dfrac{Sen(2x)}{2}\right]\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 \qquad\Rightarrow\qquad \bold{V~=~\dfrac{\pi }{2} \quad unid^{3}}$

El volumen del sólido generado al girar la región alrededor de la recta    x  =  π/4   es   π/2 unidades cúbicas