Jorge arma un rompecabeza, en los dos primeros días de trabajo colocó 93 piezas y el quinto día 36. Si el número de fichas que acomoda diariamente es una progresión aritmética.cuál es la diferencia de piezas que coloca entre dos días consecutivos?
Respuestas a la pregunta
Para poder hacer esto, debemos saber que una progresión aritmética es de la siguiente fórmula
an = a0 + nd
Donde a0 y d son dos números que define a la progresión. Si sumamos los primeros dos, tenemos que
a0 + a1 = a0 + a0 + d = 2a0 + d
Esta suma es igual a 93, por lo que
2a0 + d = 93
Ahora, en el quinto día (n = 4) se colocaron 36 piezas, por lo que
a4 = a0 + 4d = 36
Y tenemos este sistema de ecuaciones
2a0 + d = 93
a0 + 4d = 36
Si multiplicamos por 2 la segunda ecuación y las restamos, tenemos que
( 2a0 + d ) -2( a0 + 4d ) = 93-2*36
2a0 + d - 2a0 -8d = 21
-7d = 21
d = -3
Y por lo tanto
a0 = 36 -4d = 36-4(-3) = 36+12 = 48
Y así la progresión se puede definir como
an = 48 -3n = 3( 16 - n )
Ahora, la diferencia entre dos elementos de la sucesión es
a(n+1) - an = 3(16-n-1) - 3(16-n) = 3[ 15 - n - 16 + n ] = -3
Que es lo que se quiere
La diferencia de piezas que coloca entre dos días consecutivos es de 3
Explicación paso a paso:
Progresión aritmética: es una sucesión en la que los términos excepto el primero se obtiene sumándole una constante al termino anterior
aₙ = a₁ +( n-1)d
2a₁+d =93
a₁+ 4d =36
Utilizando el método de sustitución:
Despejamos una incógnita en la segunda ecuación y reemplazamos en la primera
a₁ = 36-4d
2(36-4d) +d = 93
72-8d +d = 93
-7d = 93-72
d = -3
La diferencia de piezas que coloca entre dos días consecutivos es de 3
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