Question

IV. Resuelve problemas sobre funciones cuadráticas.
1. Las ganancias G de una fábrica de reactivos químicos para cada unidad x vendida se ha calculado como: G(x) = –200x – x² – 4000 ¿Cuántas unidades debe vender para que la ganancia sea máxima? ¿Cuál es la ganancia máxima?

2. El ánimo de lucro o beneficio (en miles de dólares) de una empresa está dada
por; p(x) = 5000 + 1000x – 5x² donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad. Encuentre la cantidad x que la empresa tiene que gastar para maximizar su beneficio. Encuentra el máximo beneficio.

3. El ingreso generado por vender unidades de cierto producto está dado por
la función I(x) = 60x – 1,5x², donde el ingreso I(x) se mide en soles. ¿Cuál es
el ingreso máximo y cuántas unidades se tienen que fabricar para obtener ese
máximo?

4. Se arroja un proyectil verticalmente hacia arriba con cierta velocidad. Su altura
(en metros) en función del tiempo t (en horas) se puede aproximar por la
fórmula: h(t) = – 4,9t² + 7t
a) ¿Cuánto tiempo dura el movimiento ascendente?
b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
c) ¿En qué instante alcanza la altura máxima?

5. En un bosque, un depredador se alimenta de presas, su población y está en
función del número de presas x que hay en el bosque mediante el modelo
matemático y = 1/6x² – 10x + 90. Para qué valor de x, el número de depredadores
es máximo.

6. Pablo desea tener un área de jardín de forma rectangular en su patio. Cuenta
con 30 m de cerca para cerrar su jardín. Si x denota el ancho del jardín,
encuentre una función ƒ que depende de x que proporcione el área del jardín.
¿Cuál es el dominio?

7. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de
terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?

8. Un profesor tiene un estanque rectangular de 5 m por 3 m. Quiere hacer un
camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:
El ancho del camino ha de ser constante en todo el contorno. Llama x al ancho
constante del camino.
a) ¿Cuál será el área A(x) del camino?
b) Calcula los valores de A cuando x es 1 m y 2 m.

9. La tienda por departamentos Saga quiere construir un estacionamiento
rectangular en un terreno limitado en uno de sus lados por una autopista. Tiene
material suficiente para construir 280 metros de longitud para los tres lados
del estacionamiento. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del estacionamiento a
fin de que la superficie confinada sea máxima?, ¿cuál es el área máxima?

Answer 1

1.

SOLUCIÓN

P'=(5000+1000x-5x^{2})'=1000-10xP

=(5000+1000x−5x

=1000−10x

=0⇒1000−10x=0⇒x=100

P''=(1000-10x)''=-10P

′′

=(1000−10x)

′′

=−10

=−10<0⇒

x = 100 es un máximo de la función P.

Cuarto, evaluamos la función en el valor máximo de x y obtenemos el valor máximo de P.

P₍₁₀₀₎ = 5000 + 1000(100) - 5(100)² = 55000 miles de dólares.

2.

SOLUCIÓN

--P Función que le da el beneficio es una función cuadrática con el coeficiente líder de -5 =. Esta función (sin fines de lucro) tiene un valor máximo en x = h = -b/2a

x = H = -1000 / 2 (-5) = 100

--La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en publicidad, está dada por el valor máximo de la función P

k = c - b 2 / 4a

--La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en la publicidad, también está dada por P (h = 100)

P (100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) 2 = 55000.

--Cuando la empresa gasta 100 mil dólares en publicidad, el beneficio es máximo y es igual a 55.000 dólares.

3.

SOLUCIÓN

-Esta en Los archivos adjuntados mi estimado ^^

4.

SOLUCIÓN

Datos: Fórmula:

t = 3 s h= v0

t + gt2

como v0=0 h= gt2

h=? 2 2

v=? vf= gt

g= -9.8 m/s2

5.

SOLUCIÓN

(a) Encuentre un modelo matem´atico que exprese la poblaci´on de depredadores, como funci´on del n´umero

de semanas a partir del fin de la temporada de caza

H Tenemos que:

48 − 2(4t + 52) + 50 =

= [4(t + 13)]2

48 − 8t − 104 + 50 = t

2 + 26t + 169

3 − 8t − 54 =

= t2 + 26t + 169 − 24t − 162

3 = t2 + 2t + 7

3 .

(b) Determine la poblaci´on de depredadores, 11 semanas despu´es del cierre de la temporada de caza

H Valuamos:

112 + 2 × 11 + 7

3 = 121 + 22 + 7

3 = 150

3 = 50.

6.

En Los archivos adjuntados mi estimadx ^^

7.

SOLUCIÓN

Archivos adjuntados ^^"

8.

72-81^827=27^^o20

9.

Primero vamos a definir las variable sy las ecuaciones:

x=ancho

y=largo

El área de un triangulo seria:

A=xy (1)

El perímetro, menos un lado que va a ser ocupado por la autopista:

P=2x+y

230=2x+y

230-2x=y (2)

A=x*(230-2x)

A=230x-2x²

A'=230-4x

0=230-4x

-230=-4x

x=230/4=57.5

y=230-2x = 230 -2(57.5) = 115

El largo debe medir 115.

Por último, el área máxima será:

A=xy = 115 *57.5 = 6612.5 pies cuadrados

-Arigato^^

Saludos:Shinobu

Ara~ Ara~ ... ¡Sayonara!