Question

intergral de sec^5(3x)dx​

Answer 1

Respuesta : 3 ln( ║sec 3x  + tan 3x║) + sec 3x (2 sec²(3x) + 3) tan (3x)

                     .......................................................................................................... +  C

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Explicación paso a paso:

∫sec^5 (3x) dx.   .................(1)

Se hace  u = 3x,  du  =  3dx,  dx = du / 3, con lo cual en (1) queda:

1/3∫sec^5 (u) du.

Ahora, se resuelve ∫sec^5 (u) du.

Tenemos la siguiente fórmula de reducción:

∫sec^n (u) du  =  (n - 2)/(n - 1)∫sec^(n-2) (u)du + sec^(n-2) (u) tan(u) /(n - 1)

Si n = 5, nos queda:

= 3/4∫sec³(u)du  +  sec³(u) tan(u) / 4

Ahora, aplicando la misma fórmula se resuelve  ∫sec³(u)du.

∫sec³(u)du  =  sec(u)tan(u) / 2   +    1/2∫sec(u)du.

Ahora, se resuelve ∫sec(u)du, que es una integral que aparece en tablas.

∫sec(u)du  =  ln(tan(u) + sec(u)).

Entonces, nos queda:

1/3 ∫sec^5 (u) du  

= [ln (tan(u) + sec(u) ) / 8  ] + [sec³(u) tan(u) / 12]  + [sec(u) tan(u) / 8]

Y como u = 3x, resulta:  ∫sec^5 (3x) dx =

3 ln( ║sec 3x  + tan 3x║) + sec 3x (2 sec²(3x) + 3) tan (3x)

.......................................................................................................... +  C

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