Question

Integrar usando el método de sustitución trigonométrica ∫x⁴dx/√(3-x^2 )
explicación paso a paso.

Answer 1

Respuesta:

$\frac{27}{8}arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )-(\frac{x^{3} }{4}+\frac{9x}{8} )\sqrt{3-x^{2} } +C$

Explicación:

Dada la integral

$\int \frac{x^{4} }{\sqrt{3-x^{2} } } dx$

Para resolver la integral, realizamos la siguiente transformación

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,caso\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Cambio\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Diferencial\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Transformacion\\\sqrt{a^{2}- u^{2} } \,\,\,\,\,\,u=asen(z)\,\,\,\,\,\,du=acos(z)dz\,\,\,\,\,\,\sqrt{a^{2} -u^{2} }=acos(z)$

Realizamos los cambios propuestos

$u^{2}=x^{2}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,\,u=x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a^{2}=3\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\, a=\sqrt{3}$

Cambiando los elementos, se sustituyen en la integral

$x=\sqrt{3}sen(z)\,\,\,\,\,\,\,\,dx=\sqrt{3}cos(z)dz\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{3-x^{2} } =\sqrt{3}cos(z)$

$\int \frac{(\sqrt{3}\,sen(z) )^{4}\sqrt{3}\,cos(z) }{\sqrt{3} \,cos(z)} \,dz= \int \sqrt{3^{4} }sen^{4}(z)dz =9\int sen^{4}(z) dz$

Cuando tenemos una integral de la forma $\int sen^{m}(v)\,dv$ y $\int cos^{n}(v)\,dv$, con $m$ y $n$ par, utilizamos las identidades trigonométricas del doble de un ángulo

$sen(v)cos(v)=\frac{1}{2}sen(2v)\,\,\,\,\,\,\,\,\,sen^{2}(v)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(2v)\,\,\,\,\,\,\,\,\,cos^{2}(v)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(2v)$

de esta manera resolvemos la integral

$9\int sen^{4}(z)dz =9\int (sen^{2}(z) )^{2} dz=\int (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(2z ))^{2}dz$

$=9\int (\frac{1}{4} -\frac{1}{2}cos(2z)+\frac{1}{4}cos^{2}(2z) )dz$

ahora se transforma la potencia par de $cos(2z)$ utilizando la identidad

$cos^{2}\,v=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(2v)$

entonces,

$9\int (\frac{1}{4} -\frac{1}{2}cos(2z)+\frac{1}{4}[\frac{1}{2} +\frac{1}{2}cos(4z)] ) dz=9\int(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos(2z)+\frac{1}{8} +\frac{1}{8}cos(4z) )dz$

$=9\int(\frac{3}{8} -\frac{1}{2}cos(2z)+\frac{1}{8}cos(4z) )dz=\frac{27}{8}z-\frac{9}{4}sen(2z)+\frac{9}{32}sen(4z)+C$

Este resultado se cambia a términos algebraicos por medio del triángulo.

recordemos que el seno de un ángulo es igual al cateto opuesto entre la hipotenusa, por lo tanto

$sen\,z=\frac{u}{a}=\frac{x}{\sqrt{3} }$

despejando para $z$ obtenemos

$z=arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )$

sustituyendo en $\frac{27}{8}z-\frac{9}{4}sen(2z)+\frac{1}{32}sen(4z)+C$ obtenemos

$\frac{27}{8}arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )-\frac{9}{4}sen(2(arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )))+\frac{9}{32}sen(4(arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )))+C$

No obtante

$sen(2\, arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } ))=\frac{2x}{3} \sqrt{3-x^{2} }$

y

$sen(4\, arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } ))=-\frac{4x}{3}(\frac{2x^{2} }{3} -1)\sqrt{3-x^{2} }$

Y así obtenemos

$\frac{27}{8}arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )-\frac{9}{4}(\frac{2x}{3} )\sqrt{3-x^{2} } -\frac{9}{32}(\frac{4x}{3} )(\frac{2x^{2} }{3} -1)\sqrt{3-x^{2} }$

$\frac{27}{8}arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )-(\frac{x^{3} }{4}+\frac{9x}{8} )\sqrt{3-x^{2} } +C$

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Nota, para encontrar el valor de $sen(2\,arc sen\frac{x}{\sqrt{3} } )$

sea

$y=arc sen\frac{x}{\sqrt{3} }$

entonces

$sen(2\, acsen(\frac{x}{\sqrt{3} } ))=sen(2y) =2sen(y)cos(y)$

por medio del triángulo sabemos que

$sen(y)=\frac{x}{\sqrt{3} }$

$cos(y)=\frac{\sqrt{3-x^{2} } }{\sqrt{3} }$

por lo tanto

$sen(2\, acsen(\frac{x}{\sqrt{3} } ))=sen(2y) =2(\frac{x}{\sqrt{3} } )(\frac{\sqrt{3-x^{2} } }{\sqrt{3} } )=\frac{2x}{3}\sqrt{3-x^{2} }$

Para $sen(4\,arc sen\frac{x}{\sqrt{3} } )$

sea

$y=arc sen\frac{x}{\sqrt{3} }$

Entonces

$sen(4y)=2cos(2y)sen(2y)$

No obstante

$cos(2y)=1-2sen^{2}y=1-2sen(y)sen(y)$

sustituyendo obtenemos

$sen(4y)=2[1-2sen(y)sen(y)][2sen(y)cos(y)]$

$=4[1-2(\frac{x}{\sqrt{3} }) (\frac{x}{\sqrt{3} } ) ][(\frac{x}{\sqrt{3} } )(\frac{\sqrt{3-x^{2} } }{\sqrt{3} } )]=4[1-\frac{2x^{2} }{3} } ][\frac{x}{3}\sqrt{3-x^{2} } ]=-4x(\frac{2x^{2} }{3} -1)\sqrt{3-x^{2} }$