Question

Integrar usando el método de fracciones parciales ∫xdx/(x-2)(x^2-1)

Answer 1

Respuesta:

$\frac{2}{3}ln(x-2) -\frac{1}{6}ln(x+1)-\frac{1}{2}ln(x-1)+C$

Explicación paso a paso:

- Integración por fracciones parciales

Integrales de la forma

$\int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx$

Donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios tales que el grado de $P(x)$ es menor que el grado de $Q(x)$

Cuando se presenta el caso en el que el denominador tiene sólo factores de 1er grado que no se repiten. A cada factor de la forma:

$ax+b$

Le corresponde una fracción de la forma

$\frac{A}{ax+b}$

Donde $A$ es una constante por determinar

Así la ecuación:

$\int \frac{x}{(x-2)(x^{2} -1)}dx$

puede expresarse como

$\int \frac{x}{(x-2)(x+1)(x-1)}dx=\frac{A}{x-2}+ \frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}$

Resolvemos la fracción

$\frac{x}{(x-2)(x+1)(x-1)}= \frac{A(x+1)(x-1)+B(x-2)(x-1)+C(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+1)(x-1)}$

$\frac{x}{(x-2)(x+1)(x-1)}=\frac{A(x^{2} -1)+B(x^{2} -3x+2)+C(x^{2} -x-2)}{(x-2)(x+1)(x-1)}=\frac{Ax^{2} -A+ Bx^{2} -3Bx+2B+cx^{2} -Cx-2C}{(x-2)(x+1)(x-1)}$

Entonces, para ue se cumpla la igualdad

$x=Ax^{2} -A+ Bx^{2} -3Bx+2B+Cx^{2} -Cx-2C$

Se agrupan y se factorizan los términos semejantes

$x=(A+B+C)x^{2} + (-3B-C)x+(-A+2B-2C)$

Resultando en un sistema de ecuaciones

$A+B+C=0\\-3B-C=1\\-A+2B-2C=0$

La solución del sistema es

$A=\frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,B=-\frac{1}{6}\,\,\,\,\,\,\,\,C=-\frac{1}{2}$

Entonces

$\int \frac{x}{(x-2)(x^{2} -1)} = \int \frac{x}{(x-2)(x+1)(x-1)}dx=\int(\frac{\frac{2}{3} }{x-2}-\frac{\frac{1}{6} }{x+1} -\frac{\frac{1}{2} }{x+1} )dx$

$=\frac{2}{3}ln(x-2) -\frac{1}{6}ln(x+1)-\frac{1}{2}ln(x-1)+C$