Question

Integral indefinida
csc(x) (csc (x)-cot (x)) dx

Answer 1

∫csc(x).(csc(x) - cot(x)) dx

primero se van a hacer ciertas transformaciones trigonométricas al integrando para poder operar de una manera mas sencilla

csc(x).(csc(x) - cot(x) = csc²(x) - csc(x).cot(x)

como cot(x) = cos(x)/sen(x) = csc(x).cos(x)   por que  csc(x) = 1/sen(x)

tendria que

csc(x).(csc(x) - cot(x) = csc²(x) - csc(x).cot(x) = csc²(x) - csc²(x).cos(x)

Ahora bien, se puede expresar la csc(x) en función de la tg(x) y la sec(x) para ello se hace lo siguiente

en la identidad trigonométrica fundamental

sen²(x) + cos²(x) = 1

se va a multiplicar en ambos miembros por 1/sen²(x), es decir

(1/sen²(x)).(sen²(x) + cos²(x)) = 1/sen²(x) = csc²(x)

1 + cos²(x)/sen²(x) = csc²(x)

1 + cot²(x) = csc²(x)

como cot(x) = 1/tg(x) reemplazando se tiene

1 + (1/tg(x))² = csc²(x)

1 + (1/tg²(x)) = csc²(x)

(tg²(x) + 1)/tg²(x) = csc²(x)

abría que ver a que es igual tg²(x) + 1 , para eso voy a multiplicar en ambos miembros de la identidad trigonométrica fundamental por 1/cos²(x)

(1/cos²(x)).(sen²(x) + cos²(x)) = 1/cos²(x)

sen²(x)/cos²(x) + 1 = sec²(x)

tg²(x) + 1 = sec²(x)

por lo tanto

csc²(x) = (tg²(x) + 1)/tg²(x) = sec²(x)/tg²(x)

ahora el integrando puede ser escrito como

(sec²(x)/tg²(x)) - (cos(x)/sen²(x))

la razón por la que se pretende trabajar de esta forma es para poder aplicar el método de sustitución o cambio de variable, se observa que los numeradores de son las derivadas de las bases de los cuadrados divisores

∫f´(u).u´dx = F(u) + c  donde u es una función en x u(x)

entonces

∫csc(x).(csc(x) - cot(x)) dx = ∫(sec²(x)/tg²(x)) dx - ∫(cos(x)/sen²(x)) dx

resolvemos por cambio de variable

1) ∫(sec²(x)/tg²(x)) dx

u(x) = tg(x)    si derivamos u(x) tenemos

du(x)/dx = sec²(x)   ⇒  du = sec²(x) dx    se hace el cambio

∫ du/u² = ∫ u⁻² du = (u¹ ⁻ ²/(1 - 2)) + c₁ = -u⁻¹ + c₁ = -(1/u) + c₁  como u(x) = tg(x)

se tiene nuevamente que

∫(sec²(x)/tg²(x)) dx = -(1/tg(x)) + c₁

2) ∫(cos(x)/sen²(x)) dx

u(x) = sen(x) si derivamos u(x) tenemos

du(x)/dx = cos(x)    ⇒ du = cos(x) dx   se hace el cambio

∫ du/u² = ∫u⁻² du = u¹ ⁻ ²/(1 - 2) + c₂ = -u⁻¹ + c₂ = -(1/u) + c₂  por lo tanto

∫(cos(x)/sen²(x)) dx = -(1/sen(x)) + c₂

finalmente

∫csc(x).(csc(x) - cot(x)) dx = ∫(sec²(x)/tg²(x)) dx - ∫(cos(x)/sen²(x)) dx

                                         = (-(1/tg(x)) + c₁) - (-(1/sen(x)) + c₂)

                                         = -(1/tg(x)) + (1/sen(x)) + (c₁ - c₂)

                                         = -(1/tg(x)) + (1/sen(x)) + C

                                         = -(cos(x)/sen(x)) + (1/sen(x)) + C

                                         = (1/sen(x)).(1 - cos(x)) + C

                                         =csc(x).(1 - cos(x)) + C