integral definida area entre curvas f(x)=x^3+2x^2-3 y g(x)=x-1
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
1) Encuentra las intersecciones:
f(x)=x^3 + 2x^2 - 3
g(x)=x - 1
f(x) = g(x)
x^3 + 2x^2 - 3 = x - 1
x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 ... (1)
Factorizando (1):
x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x^3 + 2x^2) - (x + 2) = 0
(x^3 + 2x^2) - (x + 2) = x^2(x + 2) - (x + 2) = 0
x^2(x + 2) - (x + 2) = (x + 2)(x^2 - 1) = 0
(x + 2)(x^2 - 1) = (x + 2)(x + 1)(x - 1) = 0
(x + 2)(x + 1)(x - 1) = 0
Los valores para x en donde se cortan las funciones son:
x1 = -2
x2 = -1
x3 = 1
Reemplazando para cada punto en g(x) por facilidad, tenemos los pares:
(x1, y1) = (-2, -3)
(x2, y2) = (-1, -2)
(x3, y3) = (1, -0)
Con los valores de x de estos pares tenemos los valores "a" y "b" para la integral definida, como el área es un valor positivo, no interesa el orden en la sustracción. Luego de integrar cada función, tenemos para la diferencia:
F(x) - G(x) = x^4/4 + 2x^3/3 - 3x - x^2/2 + x
F(x) - G(x) = x^4/4 + 2x^3/3 - x^2/2 - 2x ... (2)
Área para el intervalo -2 a -1, y con la ecuación (2):
A1 = [(-1)^4/4 + 2(-1)^3/3 - (-1)^2/2 - 2(-1)] - [(-2)^4/4 + 2(-2)^3/3 - (-2)^2/2 - 2(-2)]
A1 = 5/12 = 0.4166666666666667
Área para el intervalo -1 a 1, y con la ecuación (2):
A2 = [(1)^4/4 + 2(1)^3/3 - (1)^2/2 - 2(1)] - [(-1)^4/4 + 2(-1)^3/3 - (-1)^2/2 - 2(-1)]
A2 = -8/3 = -2.6666666666666667 ... Tomamos el valor absoluto.
A2 = 2.6666666666666667
Área total entre las curvas:
A1 + A2 = 0.4166666666666667 + 2.6666666666666667
A1 + A2 = 3.0833333333333334