Estadística y Cálculo, pregunta formulada por Emade, hace 1 año

integral de x^3/(x^2+3)^3/2

Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
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En este caso debemos eliminar primero el exponente 1/2 del denominador. Para ello nos apoyaremos en un cambio de variable


t=(x^2+3)^{1/2}\to t^2=x^2+3\to 2t~dt=2x~dx\to \boxed{t~dt=x~dx}\\ \\
\texttt{Por otro lado }x^2=t^2-3\\ \\
\displaystyle
\int\dfrac{x^3}{(x^2+3)^{3/2}}dx=\int\dfrac{x^2}{(x^2+3)^{3/2}}\cdot x~dx\\ \\ \\
\int\dfrac{x^3}{(x^2+3)^{3/2}}dx=\int \dfrac{t^2-3}{t^3} \cdot t~dt\\ \\ \\
\int\dfrac{x^3}{(x^2+3)^{3/2}}dx=\int \dfrac{t^2-3}{t^2} ~dt\\ \\ \\
\int\dfrac{x^3}{(x^2+3)^{3/2}}dx=\int 1-\dfrac{3}{t^2} ~dt


\displaystyle
\int\dfrac{x^3}{(x^2+3)^{3/2}}dx=\int dt-3\int\dfrac{1}{t^2} ~dt\\ \\ \\
\int\dfrac{x^3}{(x^2+3)^{3/2}}dx=t+\dfrac{3}{t}+C\\ \\
\texttt{Devolvemos a la variable: }\\ \\ \\
\boxed{\int\dfrac{x^3}{(x^2+3)^{3/2}}dx=\sqrt{x^2+3}+\dfrac{3}{\sqrt{x^2+3}}+C}
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