Question

integral de secante al cubo

Answer 1

∫ sec³ [x] dx = ∫ sex [x] * sec² [x] dx 

➊ Resolvemos por Integración por Partes, cuya Formula es 

∫u dv = u v - ∫v du 

Donde: 
▀▀▀▀▀▀▀ 

u = sec [x]…………….dv = sec² [x] 

du = sec[x] tan[x] …….v = tan [x] 

➋ Resolvemos: 

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec [x] tan² [x] dx 

➌ Utilizamos la siguiente Identidad 

tan² [x] = sec² [x] – 1 

➍ Sustituimos en Integral 

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec [x] tan² [x] dx 


∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec [x] [sec² [x] – 1] dx 


∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ [sec³ [x] + sec [x] ] dx 

➎ Ahora tenemos 2 Integrales más 

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec³ [x] dx + ∫ sec [x] dx 

➏ Como puedes ver la 1ra integral que tenemos, es igual a la integral original, por lo cual la mandamos de lado izquierdo de la igualdad, pero con signo contrario, la 2da integral la resolvemos 

∫ sec³ [x] dx + ∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] + Ln [ sec [x] + tan [x] 

➐ Sumamos integrales y el [2], que multiplica a las integrales lo pasamos del otro lado de la igualad, pero dividiendo 

2 ∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] + Ln [ sec [x] + tan [x] 


∫ sec³ [x] dx = [½] sec [x] tan [x] + [ ½ ] Ln [ sec [x] + tan [x] + C 

Este es el Resultado 
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀ 

∫ sec³ [x] dx = [½] sec [x] tan [x] + [ ½ ] Ln [ sec [x] + tan [x] + C