Question

Integral de cos 5x e^3x dx

Answer 1

Tienes la siguiente integral,

$\displaystyle\int{\cos(5x)e^{3x} } dx$

usamos el criterio de ILATE(Inversa,Logarítmica,Aritmética,Trigonométrica,Exponencial) para integrar por partes, según ésto nosotros tenemos "T" y "E" y según ILATE primero está la T y luego E entonces, ya sabemos quien hará el papel de u, y lo que sobre será dv, entonces

$u=\cos(5x) \\ \displaystyle du=-5\cos(5x)dx \\ \\ dv= e^{3x}dx \\ Integramos, \\ v= \frac{ e^{3x} }{3}$

armamos la integral nueva,

$\displaystyle\int{udv}=uv-\int{vdu} \\ \int{\cos(5x)e^{3x} }dx=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} -\int{ \frac{ e^{3x} }{3} \left( -5\sin(5x)\right)}dx \\ \int{\cos(5x)e^{3x} }dx=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{3}\int{ e^{3x} \sin(5x)}dx$

la nueva integral, hacemos una sutitución de igual menera considerando ILATE

$u=\sin(5x) \\ du=5\cos(5x)dx \\ \\ dv= e^{3x}dx \\ v=\displaystyle \frac{ e^{3x} }{3}$

entonces,

$\displaystyle\int{e^{3x} \sin(5x)}dx=\sin(5x) \frac{e^{3x} }{3}-\int{ \frac{e^{3x} }{3}(5\cos(5x))}dx \\ \int{e^{3x} \sin(5x)}dx=\sin(5x) \frac{e^{3x} }{3}- \frac{5}{3} \int{e^{3x} \cos(5x)}dx$

entonces,

$\displaystyle\int{\cos(5x)e^{3x} }dx=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} -\int{ \frac{ e^{3x} }{3} \left( -5\sin(5x)\right)}dx \\ \int{\cos(5x)e^{3x} }dx=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{3}\left(\sin(5x) \frac{e^{3x} }{3}- \frac{5}{3} \int{e^{3x} \cos(5x)}dx\right) \\ \\ ...=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x}- \frac{25}{9} \int{e^{3x} \cos(5x)}dx$

del segundoo resultado podemos hacer una cambio para verle mejor,

$\displaystyle\int{e^{3x} \cos(5x)}dx=a$

entonces podemos reemplazar en la segunda ecuación...

$\displaystyle (a)=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x}- \frac{25}{9} (a) \\ a+ \frac{25}{9}a = \cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x} \\ \frac{34}{9}a=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x} \\ \\ a= \frac{9}{34}\left(\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x}\right) +C \\ \\ \int{e^{3x} \cos(5x)}dx= \frac{9}{34}\left(\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x}\right) +C$

si gustas puedes dejarlo haasta ahí o multiplicas a esa fraccion por tod lo q está dentro y ya...pero hast ahí está bastante bien.