Estadística y Cálculo, pregunta formulada por felipechiqui, hace 1 año

Integral de cos 5x e^3x dx

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Contestado por seeker17
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Tienes la siguiente integral,

\displaystyle\int{\cos(5x)e^{3x} } dx

usamos el criterio de ILATE(Inversa,Logarítmica,Aritmética,Trigonométrica,Exponencial) para integrar por partes, según ésto nosotros tenemos "T" y "E" y según ILATE primero está la T y luego E entonces, ya sabemos quien hará el papel de u, y lo que sobre será dv, entonces

u=\cos(5x) \\ \displaystyle du=-5\cos(5x)dx \\  \\ dv= e^{3x}dx \\ Integramos, \\  v=  \frac{ e^{3x} }{3}

armamos la integral nueva,

\displaystyle\int{udv}=uv-\int{vdu}   \\ \int{\cos(5x)e^{3x} }dx=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} -\int{ \frac{ e^{3x} }{3} \left( -5\sin(5x)\right)}dx   \\ \int{\cos(5x)e^{3x} }dx=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{3}\int{ e^{3x} \sin(5x)}dx

la nueva integral, hacemos una sutitución de igual menera considerando ILATE

u=\sin(5x) \\  du=5\cos(5x)dx \\  \\ dv= e^{3x}dx \\  v=\displaystyle \frac{ e^{3x}  }{3}

entonces,

\displaystyle\int{e^{3x} \sin(5x)}dx=\sin(5x) \frac{e^{3x}  }{3}-\int{ \frac{e^{3x}  }{3}(5\cos(5x))}dx \\ \int{e^{3x} \sin(5x)}dx=\sin(5x) \frac{e^{3x}  }{3}- \frac{5}{3}  \int{e^{3x} \cos(5x)}dx

entonces,

\displaystyle\int{\cos(5x)e^{3x} }dx=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} -\int{ \frac{ e^{3x} }{3} \left( -5\sin(5x)\right)}dx \\ \int{\cos(5x)e^{3x} }dx=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{3}\left(\sin(5x) \frac{e^{3x} }{3}- \frac{5}{3} \int{e^{3x} \cos(5x)}dx\right)  \\  \\ ...=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x}- \frac{25}{9} \int{e^{3x} \cos(5x)}dx

del segundoo resultado podemos hacer una cambio para verle mejor,

\displaystyle\int{e^{3x} \cos(5x)}dx=a

entonces podemos reemplazar en la segunda ecuación...

\displaystyle (a)=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x}- \frac{25}{9} (a) \\  a+ \frac{25}{9}a = \cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x} \\   \frac{34}{9}a=\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x} \\  \\ a= \frac{9}{34}\left(\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x}\right)   +C 
 \\  \\ \int{e^{3x} \cos(5x)}dx= \frac{9}{34}\left(\cos(5x) \frac{ e^{3x} }{3} + \frac{5}{9}\sin(5x) e^{3x}\right)   +C

si gustas puedes dejarlo haasta ahí o multiplicas a esa fraccion por tod lo q está dentro y ya...pero hast ahí está bastante bien.


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