Question

Integral de (1-cos2x/2x-sen2x)dx

Answer 1

Hola,

Estas integrales si no son logarítmicas son muy complejas de realizar ya que involucran funciones trigonométricas y además variables algebraicas, por lo tanto, la primera aproximación sería viendo la relación entre sus derivadas, veamos:

Digamos que ,
u = 2x - sen(2x)

Derivamos,
du = (2 - 2cos(2x))dx

du = 2(1-cos(2x))dx

du/2 = (1-cos(2x))dx

Sustituimos en la integral,

$\int\limits{ \frac{1-cos(2x)}{2x-sen(2x)} } \, dx = \frac{1}{2} \int\limits{ \frac{du}{u}} } \,$

Sabemos que:

$\int\limits { \frac{dx}{x} } \ = ln(x) + C$

Usando esto, la integral respecto a u es:

$\frac{1}{2} \int\limits{ \frac{du}{u}} } = \frac{1}{2}ln(u) + C$

Volvemos a la variable original :

$\boxed{\int\limits{ \frac{1-cos(2x)}{2x-sen(2x)} } = \frac{1}{2}ln(2x-sen(2x)) + C}$

Salu2 :).