Question

integral ∫(a+bx3)2dx

Answer 1

$\displaystyle \int (a+bx^3)^2\,dx \\[2pt] \text{se desarrolla el binomio usando }(m+n)^2=m^2+2mn+n^2 \\[2pt] =\int (a^2+2(a)(bx^3)+(bx^3)^2\,)\,dx \\[2pt] =\int (a^2+2abx^3+b^2x^6)\,dx \\[2pt]$

$\displaystyle \text{por la propiedad de linealidad , se separara en una suma }\\ \text{de integrales .} \\[2pt] =\int a^2\,dx+\int 2abx^3\,dx+\int b^2x^6\,dx \\[2pt] \text{por propiedad, las constantes pueden salir de la integral.} \\[2pt] =a^2\int dx+2ab\int x^3\,dx+b^2\int x^6\,dx$

$\text{Se usa la f\'ormula } \ \boxed{ \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C} \ , \ n\neq -1$

$=a^2x+2ab\cdot \dfrac{x^{3+1}}{3+1}+b^2\cdot \dfrac{x^{6+1}}{6+1}+C \\[6pt] =a^2x+2ab\cdot \dfrac{x^4}{4}+b^2\cdot \dfrac{x^7}{7}+C \\[6pt] =a^2x+\dfrac{ab\,x^4}{2}+\dfrac{b^2\,x^7}{7}+C \ \ \leftarrow \ Respuesta.$