Question

integracion por sustitucion trigonometrica

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Trataremos de eliminar la raiz con un cambio de variable, así que definimos:

$x = 3sen\theta$

Con esto la raiz nos sale:

$\sqrt{9-9sen^2\theta} = \sqrt{9cos^2\theta} = 3cos\theta$

Tambien debemos hallar una relacion entre los diferenciales para reemplazarlos (lo obtenemos derivando la primera igualdad):

$dx = 3cos\theta\cdot d\theta$

Con esto la integral queda así:

$\int\limits {9sen^2\theta\cdot 3cos\theta \cdot 3cos\theta } \, d\theta \\= 81\int\limits {sen^2\theta\cdot cos^2\theta } \, d\theta$

Acomodando:

$= \frac{81}{4} \int\limits {sen^22\theta} \, d\theta$

Resolviendo:

$= \frac{81}{32} (4\theta-sen4\theta})$

Reemplazando:

$\theta = arcsen(\frac{x}{3})$

= $\frac{81}{32} (4arcsen(\frac{x}{3}) - \frac{x}{3})$