Question

INTEGRACIÓN POR PARTES
La integral de:
x sec²(x) tan(x) dx
(Si no saben no respondan)

Answer 1

Hola ..!! , Veamos

                 INTEGRACIÓN POR PARTES

Este método usualmente se utiliza cuando hay una multiplicación pero indirectamente también existe el método de sustitución en el cual se puede resolver el problema pero seria mas complicado  atacar por allí a este ejercicio por lo  enunciare :

                                       $\int v.dw=v.w-\int w.dv$

$\mathbb{EJEMPLO:}$

                                          $\int x.sec^2(x).tan(x).dx$

para ello llamamos a

     $U=tanx$               tomando el diferencial            $dU=sec^2(x).dx$

    $x=arctan(U)$

remplazamos en la integral original

                                            $\int arctan(U).U.dU$

Aplicando el método

sea

     $W=arctan(U)$           y             $dv=UdU$

   $dW=\cfrac{dU}{U^2+1}$                                 $v=\cfrac{U^2}{2}$

                                           

remplazando

       $\int arctan(U).U.dU=\frac{U^2.arctan(U)}{2} -\int \frac{U^2.dU}{2(u^2+1)}$  

      $\int arctan(U).U.dU=\frac{U^2.arctan(U)}{2} -\int \frac{(U^2+1-1).dU}{2(U^2+1)}$

     $\int arctan(U).U.dU=\frac{U^2.arctan(U)}{2} -\frac{1}{2} \int \frac{(U^2+1-1).dU}{(U^2+1)}$

     $\int arctan(U).U.dU=\frac{U^2.arctan(U)}{2} -\frac{1}{2} \int dU-\frac{dU}{(U^2+1)}$

    $\int arctan(U).U.dU=\frac{U^2.arctan(U)}{2} -\frac{1}{2} \int dU+\int \frac{dU}{(U^2+1)}$

    $\int arctan(U).U.dU=\frac{U^2.arctan(U)}{2} -\frac{1}{2} U+\frac{1}{2} arctan(U)$      

    $\mathrm{ Sabemos \ que}$

    $U=tanx$

    $\mathrm{ sustituyendo}$

     $\int arctan(U).U.dU=\frac{tan^2(x).arctan(tan(x))}{2} -\frac{1}{2} tan(x)+\frac{1}{2} arctan(tan(x))$

   $\mathrm{ Sabemos \ que}$

   $arctan(tan(a))=a$

    $\int arctan(U).U.dU=\frac{x.tan^2(x)}{2} -\frac{1}{2} tan(x)+\frac{1}{2} x$

   como es una integral indefinida se le agrega la constante de integración

    $\mathrm{ FINALMENTE}$

   $\int x.sec^2(x).tan(x).dx=\frac{x.tan^2(x)}{2} -\frac{1}{2} tan(x)+\frac{1}{2} x+C$

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Un cordial saludo.