Matemáticas, pregunta formulada por Katshup, hace 1 año

Inecuaciones:

x² + 5x -14 ≥ 0
↓
partido en :
x-5

Respuestas a la pregunta

Contestado por albertocai

Primero factoriza el polinomio del numerador, resolviendo la ecuación de segundo grado y hallando sus raíces:
$x^2+5x-14=0\to x=\frac{-5\pm \sqrt{25+56}}{2}=\frac{-5\pm 9}2$
Luego las raíces son 2 y -7.
Luego el polinomio del numerador se factoriza según (x-2)(x-(-7)), es decir,
$(x-2)(x+7)$
Luego tenemos tres factores en la fracción:
$\frac{(x-2)(x+7)}{x-5}\ge 0$
Aplicamos la regla de los signos para las raíces que hemos obtenido.
Estas raíces en la recta real nos generan 3 cortes (intervalos) en la recta real:
...........-7.........2...........5...........
Luego tenemos los intervalos $(-\infty, -7), (-7, 2), (2, 5), (5, +\infty)$ (observa que todos los intervalos son abiertos.
Ahora tomamos cada factor y vemos el signo en cada intervalo, haciendo la siguiente tabla:
$\left.\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{factor} & (-\infty, -7)&(-7, 2)& (2, 5) & (5, +\infty) \\ x-2 & -&-&+&+\\ x+7 & -&+&+&+\\x-5& -&-&-&+\\ &&&&\\&-&\boxed +&-&\boxed +\end{array}\right.$

Luego la solución de la inecuación es la unión de aquellos intervalos que quede el signo +:
$x\in [-7,2]\cup (5, +\infty)$

*Nota: -7 y 2 pueden ser valores que se le dan a x, ya que harían 0 el numerador y ese valor está permitido por la desigualdad. 5 no puede dársele a x porque anula el denominador y no podemos dividir por cero.

albertocai: Luego cada uno de ellos se anula en un valor, que son los 3 que cortan a la recta real.

albertocai: Cuando le das un valor a x, entonces cada uno de esos tres factores se convierte en un número. El problema te pide qué valores le puedes dar a x para que el resultado final sea un número mayor o igual a cero, es decir, positivo o cero.

Katshup: o: muchas gracias, te pasaste <3

albertocai: Luego lo que haces es analizar el signo de los factores por separado, a partir de las divisiones que se hizo en la recta real. Sólo basta tomar un valor dentro de cada segmento y probar para ver su signo.

albertocai: Por ejemplo, si tomas el factor x-2 y le das valores intermedios (primero tendrás que elegirlos, por ejemplo, -10 está en el primer intervalo, 0 está en el segundo intervalo, 3 está en el tercer intervalo y 10 está en el último intervalo)

albertocai: Al aplicar estos valores en x-2 (recuerda que sólo me interesa ver qué signo tiene), tengo que:

albertocai: -10-2 es negativo, 0-2 es negativo, 3-2 es positivo, 10-2 es positivo

albertocai: Por eso en la fila del factor x-2 aparece -, -, +, +

albertocai: Cuando ya tengas todos los factores hechos, haces el de la fila del total multiplicando los signos de cada columna. En la primera es (-)·(-)·(-) que es (-). Eso significa que en cualquier número de ese intervalo, la fracción toma un signo negativo.

Katshup: *-* me costó harto, pero lo entendí, te lo agradezco a montones

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