inecuaciones fracciónarias ayúdenme por favor
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Una desigualdad fraccionaria es una desigualdad en la que la incognita está tanto en el denominador como en el numerador. En general las desigualdades fraccionarias tienen alguna de las siguientes formas
1 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, \quad Q(x) \neq 0
2 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \quad Q(x) \neq 0
3 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, \quad Q(x) \neq 0
4 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \quad Q(x) \neq 0
Nos enfocaremos en explicar los primeros dos casos sobre como proceder. Los pasos son sencillos, lo que debemos es encontrar los valores de x en el numerador y el denominador para los cuales se cumple la desigualdad, normalmente terminamos tomandao intersecciones y uniones de los intervalos.
Primer caso importante
Empezaremos con \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, \quad Q(x) \neq 0.
1 Primero debemos encontrar los valores para los cuales \frac{P(x)}{Q(x)} = 0, esto lo hacemos encontrar los valores de x para los cuales el numerador es igual a cero, esto es, resolvemos P(x) = 0. Denotaremos el conjunto de valores para los cuales P(x) = 0 como A_0.
2 Tenemos que \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, como ya encontramos los valores cuando es igual a cero, ahora solo nos enfocaremos en \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0.
Tenemos dos casos en los cuales \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, recordemos que esto sucede siempre que el denominador P(x) y Q(x) tengan signos opuestos.Así, nuestro primer caso es P(x) > 0 y Q(x) < 0. Digamos que el conjunto de valores para los cuales P(x) > 0 es P_1, y el conjunto de valores para los cuales Q(x) < 0 como Q_1, entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes P(x) > 0 y Q(x) < 0 es la intersección A_1 = P_1 \cap Q_1. Ojo, notemos que tomamos Q(x) < 0 y no Q(x) \leq 0 ya que Q(x) es el denominador y no puede ser igual a cero.
Nuestro segundo caso es P(x) < 0 y Q(x) > 0. Digamos que el conjunto de valores para los cuales P(x) < 0 es P_2, y el conjunto de valores para los cuales Q(x) > 0 como Q_2, entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes P(x) < 0 y Q(x) > 0 es la intersección A_2 = P_2 \cap Q_2. Ojo, notemos que tomamos Q(x) > 0 y no Q(x) \geq 0 ya que Q(x) es el denominador y no puede ser igual a cero.
3 El conjunto solución es la unión de los conjuntos A_0, A_1 y A_2, esto es
\displaystyle A = A_0 \cup A_1 \cup A_2
Para el caso \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, \quad Q(x) \neq 0 es similar, pero solo nos enfocamos en el segundo y tercer punto.
Segundo caso importante
Ahora analicemos el caso cuando \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \quad Q(x) \neq 0
1 Primero debemos encontrar los valores para los cuales \frac{P(x)}{Q(x)} = 0, esto lo hacemos encontrar los valores de x paara los cuales el numerador es igual a cero, esto es, resolvemos P(x) = 0. Denotaremos el conjunto de valores para los cuales P(x) = 0 como A_0.
2 Tenemos que \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, como ya encontramos los valores cuando es igual a cero, ahora solo nos enfocaremos en \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0.
Tenemos dos casos en los cuales \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0, recordemos que esto sucede siempre que el denominador P(x) y Q(x) tengan signos iguales. Así, nuestro primer caso es P(x) > 0 y Q(x) > 0. Digamos que el conjunto de valores para los cuales P(x) > 0 es P_1, y el conjunto de valores para los cuales Q(x) > 0 como Q_1, entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes P(x) > 0 y Q(x) > 0 es la intersección A_1 = P_1 \cap Q_1. Ojo, notemos que tomamos Q(x) > 0 y no Q(x) \geq 0 ya que Q(x) es el denominador y no puede ser igual a cero.
Nuestro segundo caso es P(x) < 0 y Q(x) < 0. Digamos que el conjunto de valores para los cuales P(x) < 0 es P_2, y el conjunto de valores para los cuales Q(x) < 0 como Q_2, entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes P(x) < 0 y Q(x) < 0 es la intersección A_2 = P_2 \cap Q_2. Ojo, notemos que tomamos Q(x) < 0 y no Q(x) \leq 0 ya que Q(x) es el denominador y no puede ser igual a cero.
3 El conjunto solución es la unión de los conjuntos A_0, A_1 y A_2, esto es
\displaystyle A = A_0 \cup A_1 \cup A_2
Para el caso \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \quad Q(x) \neq 0 es similar, pero solo nos enfocamos en el segundo y tercer punto.
Ejemplos
Normalmente es esto ejercicios P(x) y Q(x) son monomios o producto de monomios. Analicemos los siguientes ejemplos para entender a fondo el procedimiento:
1 Resuelve la siguiente inecuación
\displaystyle \frac{1 - x}{2x + 2} \leq 0
Explicación paso a paso: