Question

indicar su dominio y rango de : f(x)=2x/3−x

Answer 1

Respuesta:

Dominio: R - {+3}

Rango: R

Explicación paso a paso:

Para saber el dominio, debes ver que valores puede tomar tu funcion en x, en este caso debes tener en cuenta que al ser una division el donominado no puede ser 0, porque cualquier numero entre 0 es infinito o indeterminado por lo tanto esta respuesta no es valida, asique necesitas valores valores en x que no hagan 0 el denominador, resumiendo:

- x no puede ser +3, porque:

$f(+3)=\frac{2(+3)}{3-(+3)}=\frac{6}{0}= indetermindo$

Entonces el dominio es

D: R-{+3}         (estos significa lo que dije antes, x puede ser cualquier    numero real excepto +3)

El Codominio o rango son los valores que tu funcion tendra en y o cuando reemplazes los valores, debes tener claro que f(x) es lo mismo que decir "y", pero "y" se utiliza una vez haz reemplzado los valores de x en la funcion.

En este caso no hay nignuna limitacion en y, puede ser cualquier numero, o sea:

Rango: R     (y puede tomar cualquier valor de los numeros enteros, o sea de menos infinito a mas infinito)

Para que veas que es eso de que x no puede ser +3 te mostrare la grafica,

  Si observas la imagenes puedes ver que la grafica no pasa por el 3 positivo, nunca lo hara

Esto es importante que lo entiendas porque lo veras mas adelante, este tipo de graficas donde no pasan por puntos, se puede complicar si no lo entiendes bien

Answer 2

Respuesta:

Función:

$f(x) = \frac{2x}{3 - x}$

Dominio:

El dominio de una función son los valores que puede tener x. Hay valores que NO pueden ser adoptados por x ya que van en contra de la función por ejemplo los valores de x que provocan que la función se haga una indefinición.

Una indefinición es algo a lo que llega una función que no tiene respuesta ya que no hay una forma para hacerlo, aquí las indefiniciones más comunes:

$\frac{k}{0}$

Siendo k cualquier número real. 0 no puede dividir a ningún número, puedes comprobarlo tu mismo tratando de dividirlo o simplemente usando la calculadora y dividiendo entre 0, es imposible.

$\sqrt{ - k}$

La raíz cuadrada ( o con índice par) de un número negativo es imposible ya que si elevas al cuadrado a cualquier número siempre será positivo. Compruébalo con la calculadora.

Estas dos son las principales indefiniciones pero hay más.

A lo que iba es que el dominio son aquellos valores de x que en resumen no hagan un problema. Si vemos en la función no hay raíces cuadradas, pero si hay una fracción, por lo que podría cumplirse la indefinición de k/0 por lo que debemos hallar al valor de x que puede provocarlo. No es tan difícil porque si sustituimos la x por 3 se resta con el otro 3 y ya nos da 0. Si revisamos bien no hay ningún problema con otros números más que el 3 así que el dominio de esta función serán todos los números reales menos el 3, lo podemos explicar de esta forma:

$D_{f} = R-( 3)$

Siendo Df el dominio de la función, R todos los números reales menos el 3.

(No se usan paréntesis, se usan { } para encerrar al número inválido, pero como no se pueden poner llaves entonces use parentesis)

También podemos expresarlo como:

$D_{f} = ( -∞, 3) U (3, +∞)$

Es decir que la función puede tomar valores desde -∞ hasta cerca del 3 (pero no el 3) y luego puede tomar valores mayores que 3 hasta el +∞. Se usan paréntesis para indicar una proximidad a un número, pero que no lo llega a tomar, es decir que la función puede tomar números como 2.99999999999 pero no el 3 o también números como 3.0000000001

Rango:

Son los resultados posibles de todos los valores posibles para la función. El rango depende exclusivamente del dominio ya que si el dominio dice que no se puede tomar el 3 entonces ya habrá un resultado menos para el rango.

Se calcula usando el límite de cuando x tiende a infinito:

$lim_{x→ + \infty }( \frac{2x}{3 - x} ) = \frac{2 \times \infty }{3 - \infty } = \frac{ \infty }{ - \infty }$

Infinito entre infinito es una indeterminación, por lo tanto tendremos que aplicar el método para resolver esto y es dividiendo a todos los valores por una x:

$\frac{2x}{3 - x} → \frac{ \frac{2x}{x} }{ \frac{3}{x} - \frac{x}{x} } = \frac{2}{ \frac{3}{x} - 1}$

Se ve un poco difícil pero es muy simple, por que más de alguna x se va. Ahora si usamos el límite:

$\frac{2}{ \frac{3}{ \infty } - 1 } = \frac{2}{ - 1} = - 2$

Como nos da -2 entonces el rango será:

$R_{f} = (-∞, -2) U (-2, +∞)$

Es decir que la función nunca dará de resultado -2, puedes comprobarlo en las imágenes que voy a dejar adjuntas.

Espero que hayas entendido.