Question

III. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva f(x) = x2 + 2x – 1, en el punto (1,2). Construya la gráfica de f(x), las rectas tangente y normal, en el mismo eje de coordenadas ​

Answer 1

Respuesta:

Recta tangente:

$\large{\boxed{y=4x-2}}$  

Recta normal:

$\large{\boxed{y=-\dfrac{1}{4}x +\dfrac{9}{4}}}$

En la imagen adjunta se encuentra la gráfica de la función así como de las rectas normal, tangente que cruzan en el punto dado (1,2)

Explicación paso a paso:

Para calcular la recta tangente de una función en un punto determinado es necesario derivar la función dada:

$f(x)=x^2+2x-1$      Ecuación 1

su derivada es:

$f'(x)=2x+2$             Ecuación 2

para calcular la pendiente de la recta tangente, reemplazamos el valor de x   del punto dado en la ecuación 2. el valor de x=1, entonces:

$f'(x)=2x+2$

$f'(1)=2(1)+2$

$f'(1)=4$

este valor corresponde a la pendiente de la recta tangente.

Ahora, para calcular la recta tangente usamos la siguiente expresión:

$y=mx+b$

donde m corresponde a la pendiente calculada, por lo tanto, la ecuación de la recta sera:

$y=4x+b$                Ecuación 3

para calcular el valor de b, reemplazamos en la ecuación 3 los valores del punto dado (1,2) y despejamos b:

$y=4x+b$

$2=4(1)+b$

$2=4+b$

$b=2-4$

$b=-2$

reemplazando este valor en la ecuacion 3 nos queda:

$\large{\boxed{y=4x-2}}$   que es la ecuación tangente en el punto dado.

Para calcular la recta Normal se debe cumplir que:

$m_1m_2=-1$

donde $m_1$ es la pendiente de la recta tangente y $m_2$ la pendiente de la recta normal.

despejando $m_2$ nos queda:

$m_2=-\dfrac{1}{m_1}$

reemplazando $m_1$:

$m_2=-\dfrac{1}{4}$

La pendiente de la recta normal es -1/4

$\large{\boxed{y=-\dfrac{1}{4}x +\dfrac{9}{4}}}$