II. De acuerdo con los datos que se dan a continuación, construye los triángulos indicados. Marca los que NO se puedan construir.
8. Isósceles; AB = BC = 3 cm, AC = 4 cm
9. Isósceles; AB = BC = 2 cm, m ∠ A = 30°
10. Isósceles; AB = BC = 3.2 cm, m ∠ A = 55°
11. Isósceles; AB = BC = 2 cm, m ∠ A = 130°
12. Isósceles; AB = BC = 2 cm, m ∠ A = 90°
13. Escaleno; AB = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 4 cm y la m ∠ C = 35°
14. Rectángulo; m ∠ C = 135°
15. Obtusángulo; m ∠ A = 165°
16. Obtusángulo; m ∠ A = m ∠ B = 40°
17. Rectángulo; AB = BC = 3 cm
18. Escaleno; m ∠ A = 25
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Vamos a designar con letras mayúsculas A, B y C cada uno de los tres vértices del triángulo y con letras minúsculas a, b y c cada uno de los lados opuestos a estos vértices, de tal manera que asociamos la misma letra mayúscula y minúscula.
8) Isósceles: AB = BC = 3cm , AC = 4cm
c = a = 3cm , b = 4cm
Tenemos los tres lados del triángulo ABC y para calcular los ángulos vamos a aplicar el teorema del coseno:
a² = b² + c² -2·b·c·cos(A)
cos(A) = (b² + c² - a²)/2·b·c
Sustituyendo los lados conocidos:
cos(A) = (16cm + 9cm - 9cm)/24 = 16/24 = 2/3 ≅ 0.67
m∠A = arccos(0.67) ≅ 48º ya tenemos uno de los ángulos iguales
m∠C = m∠A = 48º
Calculamos el tercer ángulo B:
m∠B = 180º - 2·48º = 180º - 96º = 84º tercer ángulo
9) Isósceles: AB = BC = 2cm , m∠A = 30º
c = a = 2cm , m∠A = 30º
Como tenemos 2 lados y uno de los ángulos iguales, para calcular el tercer lado vamos a aplicar el teorema de los senos:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
Calculamos el tercer ángulo B:
m∠B = 180º - 2·30º = 180º - 60º = 120º tercer ángulo
Sustituyendo los valores conocidos calculamos el tercer lado b = AC
2cm/sen(30º) = b/sen(120º)
b = 2cm·sen(120º)/sen(30º) = 2cm·0.866025/0.5 ≅ 3.5cm tercer lado
10) Isósceles: AB = BC = 3.2cm , m∠A = 55º
c = a = 3.2cm , m∠A = 55º
Como tenemos 2 lados y uno de los ángulos iguales, para calcular el tercer lado vamos a aplicar el teorema de los senos:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
Primero calculamos el tercer ángulo B:
m∠B = 180º - 2·55º = 180º - 110º = 70º tercer ángulo
Sustituyendo los valores conocidos calculamos el tercer lado b = AC
3.2cm/sen(55º) = b/sen(70º)
b = 3.2cm·sen(70º)/sen(55º) = 3.2cm·0.939693/0.819152 ≅ 3.7cm
11) Isósceles: AB = BC = 2cm , m∠A = 130º
No se puede construir porque un triángulo no puede tener dos ángulos de 130º porque la suma de sus tres ángulos no puede exceder de 180º
12) Isósceles: AB = BC = 2cm , m∠A =90º
No se puede construir porque un triángulo no puede tener dos ángulos de 90º porque la suma de sus tres ángulos no puede exceder de 180º
13) Escaleno: AB = 2cm , BC = 3cm , AC = 4cm , m∠C = 35º
c = 2cm , a = 3cm , b = 4cm , m∠C = 35º
Como tenemos 3 lados y uno de los ángulos, para calcular otro ángulo podríamos aplicar el teorema de los senos:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
4cm/sen(B) = 2cm/sen(35º)
sen(B) = 4cm·sen(35º)/2cm = 2·0.573576 = 1.147152
No se puede construir este triángulo, porque no hay ningún ángulo cuyo sen > 1.
14) Rectángulo: m∠C = 135º
No se puede construir este triángulo rectángulo, porque la suma de sus tres ángulos con el de 90º ya excedería de 180º.
15) Obtusángulo: m∠A = 165º
Como solo nos proporcionan un ángulo, podemos elegir construir un triángulo isósceles que es más sencillo, pues el ángulo A sería el desigual y cada uno de los otros dos ángulos y lados serían iguales:
m∠B = m∠C = (180º - 165º)/2 = 7.5º
Ya tenemos los tres ángulos y ahora elegiríamos una medida para el lado desigual a que sería el lado opuesto del ángulo A
Elegimos a = 10cm
Aplicando el teorema de los senos hallaríamos la medida de los otros dos lados que son iguales por ser isósceles:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
10cm/sen(165º) = b/sen(7.5º)
b = 10cm·sen(7.5º)/sen(165º) = 10cm·0.130559/0.258819 ≅ 5.04cm
c = b = 5.04cm
16) Obtusángulo: m∠A = m∠B = 40°
Los triángulos obtusángulos tienen un ángulo mayor de 90º. En este caso al tener los otros dos ángulos iguales, podemos calcular el tercer ángulo C:
m∠C = 180º - 2·40º = 180º - 80º = 100º tercer ángulo
Ya tenemos los tres ángulos y ahora elegiríamos una medida para el lado desigual c que sería el lado opuesto del ángulo C
Elegimos c = 10cm
Aplicando el teorema de los senos hallaríamos la medida de los otros dos lados que son iguales por ser isósceles:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
b/sen(40º) = 10cm/sen(100º)
b = 10cm·sen(40º)/sen(100º) = 10cm·0.642788/0.984808 ≅ 6.53cm
a = b = 6.53cm
17) Rectángulo: AB = BC = 3cm
c = a = 3cm
Es un triángulo rectángulo isósceles por tener dos lados iguales, y el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa b, que podemos calcular aplicando el teorema de Pitágoras:
b² = a² + c² = 9cm² + 9cm² = 18cm²
b = √18cm² ≅ 4.24cm
Como es un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales. Como es rectángulo uno de los ángulos es 90º y podemos calcular los otros dos ángulos iguales:
m∠A = m∠C = (180 - 90º)/2 = 90º/2 = 45º
18) Escaleno: m∠A = 25º
Podemos construir un triángulo escaleno donde los tres lados tienen diferente longitud y sus tres ángulos también son diferentes.
Podemos elegir los tres lados diferentes teniendo en cuenta que la suma de dos lados tiene que ser mayor que el tercero:
c = AB = 6cm , a = BC = 8cm y b = AC = 10cm
Ahora aplicando el teorema del seno calculamos otro ángulo:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
8cm/sen(25º) = 10cm/sen(B) = 6cm/sen(C)
8cm/sen(25º) = 10cm/sen(B)
sen(B) = 10cm·sen(25º)/8cm = 10cm·0.422618/8cm ≅ 0.5282725
m∠B = arcsen(0.5282725) ≅ 32º segundo ángulo
Como la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º, calculamos el tercer ángulo C
m∠C = 180º - 25º - 32º = 123º tercer ángulo