Question

identifique los vectores directores de las rectas y vectores normales de los planos, según sea el caso, encuentre la magnitud y dirección de cada uno de ellos. Debe justificar cada paso de la solución del ejercicio: b) Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P (0,1,2) y es perpendicular a la recta x= 1 + t, y = 1 − t, z = 2t. Y corta a esta misma recta.

Answer 1

En referencia a la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto P = ( 0 , 1 , 2 ) y es perpendicular a la recta cuya ecuación paramétrica es x = 1 + t, y = 1 − t, z = 2*t; tenemos que la misma queda como se indica a continuación:

L2 = ( 3*λ / 2 , 1 - λ / 2 , 2 - λ )

En referencia a los vectores directores de las dos rectas señaladas, tenemos que estos son:

• Vector director de la recta 1: ( 1 , - 1 , 2 )

• Vector director de la recta 2: ( 3 / 2 , - 1 / 2 , - 1 )

¿ Cómo podemos determinar la ecuación de la recta ?

Para determinar la ecuación de la recta necesitamos su vector director y un punto que pertenece a la recta, lo cual calculamos como se muestra a continuación:

• Cálculo del vector director de la recta 2:

Definimos el plano π, dado por: P = ( 0 , 1 , 2 ) y $\vec N$ = ( 1 , - 1 , 2 )

Entonces:

x - y + 2*z + d = 0

0 - 1 + 2*2 + d = 0

- 1 + 4 + d = 0

d = - 3

Entonces:

π: x - y + 2*z - 3 = 0

El punto de intersección de las dos rectas y el plano π es:

1 + t - ( 1 - t ) + 2*2*t - 3 = 0

1 + t - 1 + t + 4*t - 3 = 0

6*t - 3 = 0

t = 3 / 6

t = 1 / 2

Entonces las coordenadas del punto son:

x = 1 + 1 / 2 = 3 / 2

y =  1 - 1 / 2 = 1 / 2

z = 2*( 1 / 2 ) = 1

El vector director de la recta 2 es:

$\vec v$ = ( 3 / 2 ; 1 / 2 ; 1 ) - ( 0 , 1 , 2 )

$\vec v$ = ( 3 / 2 , - 1 / 2 , - 1 )

• Cálculo de la ecuación paramétrica de la recta:

L2 = ( 0 , 1 , 2 ) + λ*( 3 / 2 , - 1 / 2 , - 1 )

Entonces:

L2 = ( 3*λ / 2 , 1 - λ / 2 , 2 - λ )

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