Question

Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos.

f ( x, y ) = 5 – ( x - 3 )^2 - ( y + 2 )^2

Answer 1

Respuesta:

f(x,y) = 5-(x²-6x+9)-(y²+4y+4)

Para determinar los puntos criticos y extremos relativos primero vamos a calcular las derivadas parciales de la función:

• Derivadas de primer orden:

df(x,y)/dx = -2x+6

df(x,y)/dy = -2y+4

• Derivadas de segundo orden:

d²f(x,y)/dx = -2

d²f(x,y)/dy=-2

• Derivada cruzada:

d²f(x,y)/dx dy = 0

Ahora que ya conocemos las derivadas parciales y cruzadas, vamos a buscar los puntos críticos, igualando las derivadas de primer orden a cero:

df(x,y)/dx = -2x+6=0 -------> x=3

df(x,y)/dy = -2y+4 =0------> y=2

Tenemos como punto critico P(5,6)

Ahora estudiaremos si en el mismo existe un máximo o un mínimo:

Calculamos el discriminante:

D=  fxx*fyy-fxy²

D= -2*-2 - 0 =4

En este caso tanto las derivadas de segundo orden como el discriminante son constante, por lo tanto:

Sabemos que el discriminaste es positivo y las derivadas de segundo orden son negativos, por lo tanto: podemos concluir que: Es un máximo local!