Question

Identidades trigonometricas
Secx+tgx=5, calcule: t=48ctgx-26cosx

Answer 1

El valor de  t  es  10.

Explicación paso a paso:

1.- Expresamos la primera ecuación en términos de Secante para despejar el valor de  x.

$Sec(x)+Tg(x)=5 \qquad \Rightarrow \qquad Tg(x)=5-Sec(x) \qquad \Rightarrow$

$[Tg(x)]^{2}=[5-Sec(x)]^{2} \qquad \Rightarrow$

$Tg^{2}(x)=25-10Sec(x)+Sec^{2}(x)\qquad \Rightarrow \quad$

$Sec^{2}(x)-1=25-10Sec(x)+Sec^{2}(x) \qquad \Rightarrow \quad$

$10Sec(x)=26 \quad \Rightarrow \quad \mathbf {Sec(x)=\frac{13}{5}}$

2.- A partir del valor de la secante y apoyándonos en el Teorema de Pitagoras, vamos a calcular el valor de la Cotangente y el Coseno de x

$Sec(x)=\frac{13}{5}=\frac{\overline{Hip}}{\overline{CatAdy}} \qquad \Rightarrow$

$\overline{Hip}=13 \qquad \wedge \qquad \overline{CatAdy}=5$

El Teorema de Pitagoras nos permite conocer el valor del cateto opuesto

$(\overline{Hip})^2=(\overline{CatAdy})^2+(\overline{CatOp})^2 \quad \Rightarrow \quad (\overline{CatOp})^2=(\overline{Hip})^2-(\overline{CatAdy})^2 \quad \Rightarrow \quad$

$(\overline{CatOp})^2=(13)^2-(5)^2 \quad \Rightarrow \quad (\overline{CatOp})^2=144 \quad \Rightarrow \quad \overline{CatOp}=12 \quad \Rightarrow \quad$

$Ctg(x)=\frac{\overline{CatAdy}}{\overline{CatOp}}=\frac{5}{12} \qquad \wedge \qquad Cos(x)=\frac{\overline{CatAdy}}{\overline{Hip}}=\frac{5}{13} \qquad \Rightarrow$

3.- Sustituimos los valores obtenidos en la expresión de cálculo de la incógnita  t

$t=48Ctg(x)-26Cos(x) \qquad \Rightarrow \qquad t=(48)(\frac{5}{12})-(26)(\frac{5}{13})\qquad \Rightarrow \qquad \mathbf{t=10}$