Question

Identidades trigonométricas. Con proceso por favor​

Answer 1

Hola :D

Tema: Identidades Trigonométricas.

En éste tema hay muchas maneras de resolver las igualdades, puedes partir del lado izquierdo para llegar al derecho, o al revés, aunque está otra manera, la cual es ir desarrollando ambos (es el que usaré).

Tendremos:

$(\sec - \tan )^{2}=\dfrac{1 - \sin }{1+ \sin}$

Puedes sacar de una vez las identidades para $\sec$ y $\tan$, las cuales son:

$\boxed{\sec =\frac{1}{\cos} }\:\:\boxed{\tan=\frac{\sin}{\cos} }\rightarrow \texttt{Sustituimos}$

$\underbrace{(\dfrac{1}{\cos} - \dfrac{\sin}{\cos}}_{\texttt{Efectuas parentesis}})^{2}=\dfrac{1 - \sin }{1+ \sin}$

Al tener el mismo denominador se hace la operación respectiva:

$(\dfrac{1-\sin}{\cos} )^{2} =\dfrac{1-\sin}{1+\sin}\rightarrow \dfrac{(1-\sin)^{2} }{\cos^{2} } =\dfrac{1-\sin}{1+\sin}$

Aplicamos multiplicación cruzada (Numerador con Denominador):

$(1-\sin)^{2}(1+\sin)=(1-\sin)(\cos^{2}) \rightarrow \texttt{Factor comun}\:(1-\sin)$

Tanto en el lado izquierdo y derecho se repite el factor mencionado, entonces, si divides toda la expresión por ése factor queda:

$\underbrace{(1-\sin)(1+\sin)}_{\texttt{Diferencia de cuadrados}}=cos^{2} \Rightarrow \boxed{(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} }$

Como puedes notar, se puede aplicar el producto notable Diferencia de cuadrados, que en vez de $a$ tendremos $1$ y en vez de $b$ tendremos $\sin$:

$1^{2}-\sin^{2}=\cos^{2}\rightarrow \boldsymbol{1-\sin^{2}=\cos^{2}}$

Aquí puedes encontrar la igualdad de dos maneras, recuerda que una de las identidades fundamentales es la siguiente:

$\boxed{\sin^{2}+\cos^{2}=1 }$

Si yo quiero despejar a cada variable tendré:

$\boxed{\boxed{\sin^{2}=1-\cos^{2} }}\:\:\:\:\boxed{\boxed{\cos^{2}=1-\sin^{2} }}$

Entonces, usando el primero puede ser:

$\clubsuit \: 1-\underbrace{(1-\cos^{2}}_{\sin^{2} })=\cos^{2}\rightarrow 1-1+\cos^{2}=\cos^{2}$

$\boxed{\boxed{\boxed{\cos^{2}=\cos^{2} }}}$

Y el segundo:

$\clubsuit \: 1-\sin^{2}=\underbrace{1-\sin^{2} }_{\cos^{2} }\Rightarrow \boxed{\boxed{\boxed{1-\sin^{2}=1-\sin^{2}}}}$

Espero haberte ayudado,

Saludos cordiales, AspR178 !!!!

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