Question

Identidades trigonométricas. Con proceso por favor.​

Answer 1

Hola :D

Tema: Identidades Trigonométricas.

En la respuesta anterior que te dí partimos de ambas para llegar a un resultado igual, ahora partamos de la expresión del lado izquierdo para llegar a la expresión del lado derecho:

$\dfrac{ \sin(a) \cos(a)}{ { \sin {}^{2} (a)} - { \cos^{2} (a)}} = \dfrac{ \tg(a)}{ { \tg}^{2}(a) - 1 }$

Entonces, por ahora me olvido del lado derecho, tendremos que trabajar el izquierdo, intentemos lo siguiente:

$\clubsuit$ Multipliquemos el lado izquierdo por $\dfrac{\sec^{2}(a)}{\sec^{2}(a)}$, puedes llamar a esto un artificio.

Pero, ¿Qué pasa con el lado derecho?

Nada, ya que la expresión que propuse es $1$, pero está escrita de tal manera que pueda beneficiarnos en la resolución.

Entonces:

$\underbrace{ \dfrac{ \sec^{2} (a)}{ \sec {}^{2}(a) }}_{1} \times \dfrac{ \sin(a) \cos(a)}{ { \sin}^{2} (a) - { \cos}^{2} (a)}$

$\dfrac{ { \sec}^{2}(a) \sin(a) \cos(a) }{ { \sec}^{2}(a)[{ \sin}^{2} (a) - { \cos}^{2}(a)] }$

En el denominador se aplica Propiedad Distributiva, quedando:

$\dfrac{ { \sec}^{2}(a) \sin(a) \cos(a) }{ { \sec}^{2}(a) { \sin}^{2} (a) - { \sec}^{2} (a) { \cos}^{2} (a)}$

Recordemos la siguiente identidad:

$\boxed{ { \sec}^{2} (a) = \frac{1}{ { \cos}^{2}(a) } }$

Entonces, sustituimos:

$\dfrac{ \frac{\sin(a) \cos (a)}{ \cos^{2}(a) } }{ \frac{ \sin {}^{2} (a)}{ { \cos}^{2} (a)} - \frac{ \cos {}^{2}(a) }{ { \cos}^{2}(a) } }$

Vayamos con el Numerador:

$\dfrac{ \sin(a) \cos(a)}{ \cos {}^{2} (a)}$

También se puede escribir como:

$\dfrac{ \sin(a) \cancel{\cos(a)}}{ \cancel{\cos(a)} \cos(a)} \rightarrow \texttt{se \: simplifica}$

Nos queda:

$\dfrac{ \sin(a) }{ \cos(a)} = \tg(a)$

En el Denominador:

$\underbrace{ \dfrac{ { \sin}^{2} (a)}{ \cos {}^{2}(a) } }_{ \tg {}^{2}(a) } - \underbrace{\dfrac{ \cancel{ { \cos}^{2} (a)}}{ \cancel{ \cos {}^{2}(a) }} }_{1}$

Juntamos los resultados del Numerador y Denominador:

$\boxed{ \dfrac{ \tg(a)}{ { \tg}^{2}(a) - 1 } }$

Hechamos un ojo a lo que aparece en la expresión de la derecha, oh vaya, son iguales, entonces, la identidad es verdadera, por lo que:

$\boxed{ \boxed{ \bold{\dfrac{ \tg(a)}{ { \tg}^{2}(a) - 1 } = \dfrac{ \tg(a)}{ { \tg}^{2}(a) - 1} }}}$

Espero haberte ayudado,

Saludos cordiales, AspR178 !!!

Moderador Grupo ⭕✌️✍️

La filosofía del poder -- > Isaac Netero.