Question

Idearse 5 funciones polinomiales y determinar:

Dominio, rango, Interceptos (raíces), simetría y extremos (tipos de máximos o mínimos)

Answer 1

Daremos 5 funciones polinomiales mas conocidas:

1. y = x + 1
2. y = x²
3. y = x³
4. y = x⁴ + 1
5. y = x⁴ + x²

Veamos cada uno los casos: el dominio de una función sobre los posibles elementos que pueda tener x y el rango son los posibles valores que pueda dar "y", toda función polinomial tiene dominio los reales

• y = x + 1

Tenemos una recta: por lo tanto el dominio y rango son los reales.

Puntos de corte:

Eje x: hacemos y = 0 ⇒  x = - 1, El punto es: (-1,0)

Eje y: hacemos x = 0 ⇒  y = 1, El punto es: (0,1)

Simetria: no es simetrica respecto a los ejes coordenados.

No tiene minimos ni maximos

• y = x²

Tenemos una parabola: por ser un polinomio el dominio es los reales, como es una parabola entonces solo puede dar valores no negativos, el rango son los reales no negativos

Puntos de corte:

Eje x: hacemos y = 0 ⇒  x = 0, El punto es: (0,0)

Eje y: hacemos x = 0 ⇒  y = 0, El punto es: (0,0)

Simetria: es simetrica respecto al eje de las ordenadas

El minimo esta en el punto (0,0) pues no puede tomar valores negativos.

• y = x³

Por ser un polinomio el dominio es los reales, y como la potencia es impar el rango son los reales

Puntos de corte:

Eje x: hacemos y = 0 ⇒  x = 0, El punto es: (0,0)

Eje y: hacemos x = 0 ⇒  y = 0, El punto es: (0,0)

Simetria: No es simetrica respecto a ningun eje

El minimo o maximo: derivamos e igualamos a cero para encontrar puntos criticos:

y' = 3x² = 0 ⇒ x = 0

Calcuamos la segunda derivada: evaluamos en el punto

y''(0) = 6*0 = 0 Punto silla: no hay minimos ni maximos

• y = x⁴ + 1

Por ser un polinomio el dominio es los reales, y como la potencia es par no puede ser negativo además al sumarle el 1 es siempre mayor o igual a 1 el rango es: [1,∞)

Puntos de corte:

Eje x: hacemos y = 0 (no se puede pues el rango es solo para mayor que 1)

Eje y: hacemos x = 0 ⇒  y = 1, El punto es: (0,1)

Simetria: es simetrica respecto al eje de las ordenadas

El minimo o maximo: derivamos e igualamos a cero para encontrar puntos criticos:

y' = 4x³ = 0 ⇒ x = 0

Calcuamos la segunda derivada: evaluamos en el punto

y''(0) = 12*0 = 0 Punto silla: no hay minimos ni maximos

• y = x⁴ + x² = x²*(x² + 1)

Por ser un polinomio el dominio es los reales, y como la potencia es parel rango son los reales no negativos.

Puntos de corte:

Eje x: hacemos y = 0 ⇒  x = 0, El punto es: (0,0)

Eje y: hacemos x = 0 ⇒  y = 0, El punto es: (0,0)

Simetria: es simetrica respecto al eje de las ordenadas

El minimo o maximo: derivamos e igualamos a cero para encontrar puntos criticos:

y' = 4x³ + 2x = 0 ⇒ x*(4x² + 2) = 0 ⇒ x = 0

Calcuamos la segunda derivada: evaluamos en el punto

y'' = 12x² + 2

y''(0) = 12*0 + 2 = 2 Punto mínimo.