Question

Holis podrían ayudarme a resolver esto por fissss

1. Dado el número complejo z= −1/3+ √3/3i

a) Represéntelo en el plano complejo

b) Calcule las coordenadas polares del número complejo dado y represéntelo gráficamente.

sobre todo estas dos

c) Calcule la potencia para ^121

d) Represente el resultado de ^121 en el plano complejo.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

$z=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}i$

a) Imagen

b)

$r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(-1/3)^{2}+(\sqrt{3}/3)^{2}}=\sqrt{1/9+3/9}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$

$\theta=arctan\frac{b}{a}=arctan\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{-1}{3}}=arctan\frac{3\sqrt{3}}{-3}=arctan(-\sqrt{3})=-60$

$\theta=-60+180=120$

$\theta=120(\frac{\pi rad}{180})=\frac{2\pi }{3}$

$z=\frac{2}{3}(cos(\frac{2\pi}{3})+isen(\frac{2\pi}{3}))$

$z=(\frac{2}{3})e^{i\frac{2\pi}{3}}$

c)

$z^{121}=((\frac{2}{3})(cos(\frac{2\pi}{3})+isen(\frac{2\pi}{3})))^{121}\\\\z^{121}=(\frac{2}{3})^{121}(cos(\frac{242\pi}{3})+isen(\frac{242\pi}{3}))$

d)

$cos(\frac{242\pi}{3})=\frac{a}{(\frac{2}{3})^{121}}\\\\a=(\frac{2}{3})^{121}cos(\frac{242\pi}{3})=(\frac{2}{3})^{121}(-\frac{1}{2})$

$sen(\frac{242\pi}{3})=\frac{b}{(\frac{2}{3})^{121}}\\\\b=(\frac{2}{3})^{121}\frac{\sqrt{3}}{2}$

Entonces:

$z=(\frac{2}{3})^{121}(-\frac{1}{2})+(\frac{2}{3})^{121}\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Listo ahora graficas como el inciso a)