Question

Holaaa, doy 60 puntos. SOLO GENTE SERIA POR FAVOR, LOS QUE NO SEPAN QUE NO RESPONDAN. Gracias de antemano!

Answer 1

Hola.

a. f es primitiva de g si se comprueba que ⇔ f'=g

f(x)=(x+1)$e^{x}$

Procedemos a derivar, (es un producto):

$f'(x)=1e^{x} +(x+1)e^{x} =e^{x} +xe^{x} +e^{x} =2e^{x} +xe^{x} =(2+x)e^{x}$

Luego, f es primitiva de g.

b. $\int\{(x+2)e^{x}} \, dx$

Primero calculo la indefinida y luego evalúo los límites...

Usamos integración por partes donde:

u=x+2

du=dx

dv=$e^{x}$

v=$e^{x}$

$\int(x+2)e^{x}} \, dx \Rightarrow (x+2)e^{x}-\int e^{x} dx \Rightarrow (x+2)e^{x}-e^{x}$

Ahora evaluando los límites:

$(1+2)e-e-[(-1+2)e^{-1}-e^{-1}]=3e-e-(e^{-1}-e^{-1})=2e$

c. Primero hallemos h(x)=f(x)/(x+1)

$\frac{(x+1)e^{x}}{x+1}=e^{x}$

Ahora hallando el volumen:

$V=\pi \int\limits^1_0 {(e^{x})^{2}} \, dx =\pi \int\limits^1_0 {e^{2x}} \, dx$

Usando la sustitución

u=2x

du=2dx

du/2=dx

$\pi \int\limits^1_0 {e^{u}\frac{du}{2} } \, dx=\frac{\pi }{2}\int\limits^1_0 {e^{u}} \, dx= \frac{\pi }{2}\int\limits^1_0 {e^{2x}} \, dx =\frac{\pi }{2}[e^{2}-e^{0}]= \frac{\pi }{2}(e^{2}-1)$